三角数
三角数（さんかくすう、テンプレート:Lang-en-short）とは多角数の一種で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数である。n番目の三角数は1から n までの自然数の和に等しい。
概要
例えば 10 は1つの辺にものを4つ並べた時に該当するので三角数の1つである。三角数は無数にあり、最小のものは1である。
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ● | ○ ●● |
○ ○○ ●●● |
○ ○○ ○○○ ●●●● |
○ ○○ ○○○ ○○○○ ●●●●● |
○ ○○ ○○○ ○○○○ ○○○○○ ●●●●●● |
三角数 10 (= 1 + 2 + 3 + 4) はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として特に大事な数とされた。
n番目の三角数を Tn とすると、定義より
- <math>T_n =1+2+3+\cdots+n= \frac{n(n+1)}{2} \quad (n \geqq 1).</math>
この式は T0 = 0 と定義すると n = 0 のときも成り立つ。この式は下図のように、灰色の点と赤色の点がそれぞれn番目の三角数を示す三角形として組み合わせると、高さがnで底辺がn+1の長方形になるので、その長方形の面積の半分として得られる。
| 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ●○ | ●○○ ●●○ |
●○○○ ●●○○ ●●●○ |
●○○○○ ●●○○○ ●●●○○ ●●●●○ |
●○○○○○ ●●○○○○ ●●●○○○ ●●●●○○ ●●●●●○ |
●○○○○○○ ●●○○○○○ ●●●○○○○ ●●●●○○○ ●●●●●○○ ●●●●●●○ |
三角数を2倍した数を矩形数（くけいすう）という。矩形数とは、縦と横の列の数が1つだけ違う長方形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。すなわち、連続する2整数の積である。n番目の矩形数は2からn番目までの偶数の和に等しい。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。
三角数を小さいものから順に列記すると次の通り。
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,780,820 …（テンプレート:OEIS）
あらゆる自然数は高々3つの三角数の和で表されるという定理があり、ガウスによって1796年（彼の日誌によれば7月10日）に証明された。この定理は全ての自然数が高々n個のn角数の和によって表されるとするフェルマーの多角数定理の中に含まれている。
連続する三角数の和は
- <math>T_{n-1} + T_n = \frac {n(n-1)}{2} + \frac {n(n+1)}{2} = n^2</math>
となり、平方数である。これを灰色の点がn-1番目の三角数、赤色の点がn番目の三角数として表すと下図のようになる。
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ● | ●○ ●● |
●○○ ●●○ ●●● |
●○○○ ●●○○ ●●●○ ●●●● |
●○○○○ ●●○○○ ●●●○○ ●●●●○ ●●●●● |
●○○○○○ ●●○○○○ ●●●○○○ ●●●●○○ ●●●●●○ ●●●●●● |
平方数はまた，四角数（しかくすう）ともいわれる。四角数とは、正方形の形にものを並べたときに、そこに並ぶものの総数に合致する数のこと。n番目の四角数は1からn番目までの奇数の和に等しい。
n番目の四角数 n2 とn番目の矩形数 n(n+1) の和は2n番目の三角数 n(2n+1) である。
n番目の三角数は組み合わせの記号を使って <math>\frac{n (n+1)}{2} = {}_{n+1}{\rm C}_{2}</math> と表すこともできる。
三角数でもあり、平方数でもある数は平方三角数とよばれ、1, 36, 1225 など無数にある。
n番目の三角数の2乗は1からn番目までの立方数の和に等しい。つまり、<math>\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+\cdots+n^3</math>
三角数は必ず3で割り切れる数か、もしくは9で割ると1余る数のどちらかである。
3n-1 番目の三角数を1/3倍した数は全て五角数であり、2n-1 番目の三角数は全て六角数である。また六角数は全て三角数でもある。
三角数の性質として
- Ta+b = Ta + Tb + ab や Tab = TaTb + Ta-1Tb-1 といった式が挙げられる。
回文数の三角数は、55, 66, 666だけであると考えられている。
総当たりのリーグ戦における全試合の回数は、三角数になる。チームの数がn（2以上の自然数）であれば、試合数はn-1番目の三角数である。
また、ゼロ以外の三角数の逆数の和は収束し、その値は
- <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} =2 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) =2</math>
となる。
三角数の判定
任意の自然数 x が三角数かどうかを判定するためには
- <math>n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}</math>
を計算すれば良い。もし n が整数ならば、x は n 番目の三角数である。もし nが 整数でないならば、x は三角数ではない。この式は、n 番目の三角数を x とおいて、n についての二次方程式を解くことで得られる。
ゼロ以外の三角数の数字根は、1、3、6、9 のいずれかである。したがって、ある自然数 x の数字根が 1、3、6、9 以外ならば x は三角数ではない。
三角数の一般次元への拡張
三角数と同じように、ものを三角錐（四面体）状に配置したとき、その総数を三角錐数（四面体数）という。第 n 三角錐数（四面体数）は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値を N とおくと <math>N=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}</math> と書くことができる。また、同様に三角錐数の総和として、4次元空間での三角数、五胞体数を定義することができる。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目のその数 Tr(n) は、
- <math>T_r (n)= \prod^{r}_{k=1} \left( 1+ \frac{n-1}{k} \right) = \frac{n(n+1) \cdots (n+r-1)}{r!} = {}_{n+r-1}{\rm C}_r</math>
と書くことができる。
- モナド（単数）の数列 1,1,1,1,1,1,1,1,1,…,1,…
- 自然数の数列 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…, <math>{}_{n}{\rm C}_{1} \,</math> ,…
- 三角数の数列 1,3,6,10,15,21,28,36,45,…, <math>{}_{n+1}{\rm C}_{2} \,</math> ,…
- 三角錐数の数列 1,4,10,20,35,56,84,120,165,…, <math>{}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> ,…
- 五胞体数の数列 1,5,15,35,70,126,210,330,495,…, <math>{}_{n+3}{\rm C}_{4} \,</math> ,…
となっている。上にある数列はその1つ下の数列の階差数列である。
