電磁気の単位

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テンプレート:特殊文字 電磁気の単位（でんじきのたんい）を単位系に組み込もうとするとき、電磁気に関係する物理量は、長さ・質量・時間だけでは表すことができないため、もうひとつ別の物理量を単位系に加える必要があるように思える。現在、単位系の国際標準となっている国際単位系 (SI) では、事実そうしている。しかし実際には、他にも方法がある。

電磁気の方程式の違い

マクスウェル方程式などの電磁気の法則は、単位系によりさまざまに異なる形に書かれる。そこでまず、単位系によらず成立する量方程式を示し、各単位系でそれがどのように変化するかを示す。

マクスウェル方程式の量方程式は次のようになる。ただし、<math>\boldsymbol D = \varepsilon_0 \boldsymbol E, \, \boldsymbol B = \mu_0 \boldsymbol H </math> を使って <math>\boldsymbol D, \boldsymbol B </math> は消去してある。また、（あとで磁荷について論ずるため）磁荷密度 ρm を0としていない。

<math>\nabla \cdot \boldsymbol E = \frac \alpha \varepsilon_0 \rho</math>
<math>\nabla \cdot \boldsymbol H = \frac \alpha \mu_0 \rho_{ \mathrm m }</math>
<math>\nabla \times \boldsymbol E = - \frac { \mu_0 } \gamma \frac { \partial \boldsymbol H } { \partial t } + \frac \alpha { \gamma } \boldsymbol j_{ \mathrm m } </math>
<math>\nabla \times \boldsymbol H = \frac { \varepsilon_0 } \gamma \frac { \partial \boldsymbol E } { \partial t } + \frac \alpha { \gamma } \boldsymbol j </math>

これらから導き出される法則のいくつかを次に示す。

電荷に関するクーロンの法則
<math>F = \frac \alpha { 4 \pi \varepsilon_0 } \frac { Q_1 Q_2 } { r^2 } </math>
磁荷に関するクーロンの法則
<math>F = \frac \alpha { 4 \pi \mu_0 } \frac { m_1 m_2 } { r^2 } </math>
電流と磁場に関するビオ・サバールの法則
<math>F = \frac { \alpha \mu_0 } { 4 \pi } \frac { I_1 \Delta s_1 I_2 \Delta s_2 } { r^2 } </math>
電流連続の法則（キルヒホッフの第一法則）
<math>I + \frac 1 \gamma \frac { dQ } { dt } = 0</math>
光速の導出
<math>c = \frac{\gamma}{\sqrt{ \varepsilon_0 \mu_0 }} </math>

これらの式には、定数として α, γ, ε0, μ0 の4つが現れるが、これらは単位系により値も次元も異なり、次のようになる。これらが代入されることで、マクスウェル方程式や電磁気の諸法則は単位系によって異なる形で表されることになる。

単位系 α γ ε0 μ0 次元 対称 有理 基本単位
CGS 電磁 (emu) 4π 1 1/c2 1 3 × × cm, g, s
静電 (esu) 4π 1 1 1/c2 3 × × cm, g, s
ガウス 4π c 1 1 3 ○ × cm, g, s
ヘヴィサイド 1 c 1 1 3 ○ ○ cm, g, s
一般化電磁 4π 1 1/μ0c2 1 dyn/Bi2 4 × × cm, g, s, Bi
一般化静電 4π 1 1 Fr2/erg·m 1/ε0c2 4 × × cm, g, s, Fr
MKS MKSA 1 1 1/μ0c2 4πテンプレート:E- H/m 4 × ○ m, kg, s, A
MKSC m, kg, s, C
MKSΩ m, kg, s, Ω
MKSP 1 c 1 1 3 ○ ○ m, kg, s
実用単位系 4π 1 1/c2 1 3 × × テンプレート:1e cm, テンプレート:1e- g, s

ε0 は真空の誘電率、μ0 は真空の透磁率である。γは対称化定数、連結因子と呼ばれる。

なおこれらの定数の置き方は必然ではなく、αの代わりに 4π/α、γの代わりに 1/γや、ε0・μ0 の代わりに ε0/α・αμ0 や α/4πε0・α/4πμ0 などに記号を与え定数として扱うこともできるが、置き方が違っても同様に話を進めることができる。ここでは岡部洋一に倣った（外部リンク参照）。

単位系の性質

MKSとCGS

力学単位系をMKS単位系とするかCGS単位系とするかの違いである。単位の大きさにしか影響せず、式の形などは変化しない。

3元系と4元系

基本単位が3つか4つかの違いである。3元系の場合、力学の単位系に新たな基本単位を加えることなく、電磁気の単位を生み出す。

たとえばCGS静電単位系では、ε0 = 1（無次元）と置くことで、クーロンの法則から ε0 が消去され F = Qq/r2 となり（α = 4π も代入した）、これに F = 1 dyn、r = 1 cm、Q = q = 1 esu を代入すれば電荷の単位 esu = dyn1/2cm が導き出される。dyn と cm から組み立てられていることからもわかるとおり、これは基本単位ではなく組立単位である。どの定数をどのような値に置くかにより、さまざまな単位系ができ、単位の大きさだけでなく次元も異なる。

CGS系電磁単位系・静電単位系・ガウス単位系では α, γ, ε0, μ0 の全てが、4π のような数学定数や、1/c2 のような他の物理定数から計算できる量になっており、方程式から消去できる。これらは3元系である。

それらに対し、MKSA単位系は μ0 = 4πテンプレート:E- H/m が独立した物理定数であり、消去できない。そのため、電磁気の単位は力学単位から組み立てられない次元を持つ。余分な物理定数が1つなので、それらの次元は自由度が1つで、基本単位を1つ追加すればいい。なお ε0 は ε0 = 1/μ0c2 と消去できるので数に入れない。

3元系は理論的な取り扱いには便利で、理論科学や数値実験に好まれる。しかし、自由度が低いため、単位の大きさが非日常的なサイズになりやすく、実験科学や工学には不便である。特に電磁気の単位では、3つの基本単位は力学単位系としてすでに決まっているので、α, γ, ε0, μ0 を決めれば、全ての電磁気の単位が一律に決まってしまう。

それに対し、4元系では自由度が多いので、単位の大きさを調整でき、日常的なサイズに近づけることができる。たとえば、電流の単位を10倍にするには、μ0 の次元は L2 M Tテンプレート:Sup- Iテンプレート:Sup- で電流 (I) の指数は－2なので、μ0 の値を 10テンプレート:Sup- = 1/100 倍にすればいい。MKSA単位系の μ0 が不思議な値なのは、このような調整をした結果である。

対称と非対称

電磁気の法則は本来は電気と磁気について対称的だが、単位系の取り方によっては、式は非対称になる。

ε0 と μ0 を異なる仕方で消去すると（片方を1、もう片方を 1/c2 とするなど）、非対称となる。

最も対称性が高いのは、ε0 = μ0 = 1 として共に消去する単位系である。その結果、γ = c となる。

有理系と非有理系

α は α = 1 か α = 4π かのいずれかの数値（共に無次元量）をとる。α = 1 の単位系を有理系 (rationalized system)、α = 4π の単位系を非有理系 (non-rationalized system) と呼ぶ。

非有理系では、マクスウェル方程式に 4π が現れるが、有理系ではそれが消える。無理数である 4π がなくなることが、「有理系」の名の由来である。物理的には、有理系は単位電荷から単位電束が出ていると考え、非有理系では単位電荷から1ステラジアンあたり単位電束、つまり全周で 4π の単位電束が出ていると考える。

有理系では 4π が完全に消えるわけではなく、非有理系では 4π がなかった、クーロンの法則やビオ・サバールの法則に 4π が現れる。歴史的には、これらの法則がマクスウェル方程式より先に知られていたため、初期の単位系は当然の発想として非有理系だった。ところが、より本質的なマクスウェル方程式が発見されると、非有理系を有理系に修正する有理化 (rationalizarion) が提唱された。

各々の単位系

国際単位系(SI)では電磁気関連の基本単位として電流を採用しており、電流の流れる物体間に作用する力によって定義している。国際単位系(SI)では電荷は電流と時間の積として定義される組立単位となる。このような形になるまでには、様々な変遷があった。

電磁気に関する研究が始められ、その単位が作られ出したころ、広く使用されていた単位系はCGS単位系であった。初期の電磁気の単位はCGS単位系の上で構築された。

主要な単位系

CGS電磁単位系

CGS電磁単位系 (CGS-emu) は、3元の非対称な非有理系である。最初に構築された電磁気の単位系で、ウェーバーにより作られた。

ウェーバーは、ビオ・サバールの法則が一つも係数を含まなくなるように、距離 1 cm で 1 cm あたり 2 dyn の力を及ぼす電流の大きさを、電流の単位とした。これは、αμ0/4π = μ0 = 1 と置くことに当たる（非有理形なので α = 4π を使った）。

μ0 は力/電流2の次元を持つが、これを無次元量とすることで、電流の次元は力1/2となり、電流の単位はdyn1/2と組み立てられる。これを電磁単位 (electromagnetic unit) と呼び、emuと略す。

さらに電流連続の法則の係数もなくなるよう、γ = 1 と置いて電荷の単位を導いた。これをクーロンの法則に適用し、1 cm の間隔で置かれた単位電荷を持つ物体間に働く力が 1 dyn になるように αμ0/4π = μ0 = 1/c2 とした。

CGS静電単位系

CGS静電単位系 (CGS-esu) は、3元の非対称な非有理系である。理論的には、CGS電磁単位系を電気と磁気について反転したものである。マクスウェルが提案した。

マクスウェルは、クーロンの法則が一つも係数を含まなくなるように、つまり、αε0/4π = ε0 = 1 とし、1 dyn の力を及ぼしあう電荷の大きさを電荷の単位とした。電荷の単位はdyn1/2と組み立てられ、これを静電単位 (electrostatic unit) と呼び、esu と略す。

CGS電磁単位系と同様に電流連続の法則の係数を γ = 1 として電流の単位を導いた。これをビオ・サバールの法則に適用し、1 cm の間隔で流れる単位電流の間に働く力が 1 dyn となるように αε0/4π = ε0 = 1/c2 とした。

CGSガウス単位系

CGSガウス単位系 (ガウス単位系) は、3元の対称な非有理系である。磁気に関する単位には電磁単位系、電気に関する単位には静電単位系を用いる。ヘルムホルツとヘルツが提唱した。

この結果 ε0 = μ0 = 1 となる。また、<math>\gamma = c \sqrt { \varepsilon_0 \mu_0 } </math> により、γ = c となる。

この単位系は、電場と磁場の方程式が対称になり、理論的な見通しが良いという特長があるため、現在でも理論物理学や天文学などで用いられることがある。

ヘヴィサイド・ローレンツ単位系

ヘヴィサイド・ローレンツ単位系（ヘヴィサイド単位系）は、3元の対称な有理系である。ヘヴィサイドが1883年に提唱し、ヘンドリック・ローレンツが再編成したCGS単位系で、ガウス単位系を有理化したものである

ヘヴィサイドはそれまでの単位系が暗黙のうちに α = 4π としていたのを α = 1 とし、電磁気量と力学量との関係を表す関係式の分母に 4π を入れることで、マクスウェル方程式に 4π が表れないようにし、これを有理化と呼んだ。有理化によりマクスウェル方程式などは簡単な形式で記述されるようになったが、その代償として従来の単位系との換算の際に<math>\sqrt{4\pi}</math>が大量に表れた。単位の換算が頻繁に必要となる実験科学者や技術者にとっては、実用的な単位系ではなかった。しかし理論家にとっては単位の大きさは重要ではないので、希に使われることがある。

実用単位系

実用単位系 (practical units) もしくはBA単位系 (British Association units) は、電磁単位系を元としながら電磁気の単位を10の冪倍し実用的な大きさとした単位系である。定数の置き方は電磁単位系と同じである。

アンペア (A)、ボルト (V) など、現在も使われる電磁気の単位の多くは、元は実用単位である（一部はさらに古い歴史を持つ）。

実用単位系は電磁気の単位のみを持ち、力学の単位を持たないが、理論から逆算すれば テンプレート:1e cm、テンプレート:1e- g、秒を基本単位としていることになる（あくまで計算上のことであり、そのような単位が使われたわけではない）。

MKSA単位系

MKSA単位系は、4元の非対称な有理系である。また、これまでの単位系と異なり、MKS単位系を拡張したものである。

工業の発展により、それまでのCGS単位系の基本単位は小さすぎたことから、より実用的な単位系としてMKS単位系への移行が行われるようになった。これにあわせて、電磁気の単位もMKS単位系を基本としたものに移行する必要が出てきた。電気工学でも、実用単位が広まった。

ジョヴァンニ・ジョルジは、電流の実用単位アンペアをもう1つの基本単位とする4元系を提唱した。このことにより、これまで物理定数として意識されていなかった ε0 と μ0 が、物理定数として意味のある量を持つようになった。

さらに同時に、力学単位をMKS単位系に変更し、有理化を採用した。この3つの変更により、ε0 = 107/4π(c·s/m)2 F/m（c·s/m は、光速を単位 m/s で割って無次元の数値にしたもの）、μ0 = 4πテンプレート:E- H/m となった。ヘヴィサイド単位系のように有理化で<math>\sqrt{4\pi}</math>が大量に表れる弊害を避けるために、4π は ε0 と μ0 に含められた（3元系ではこの解決法はできない）。

国際単位系(SI)は、電磁気に関してはMKSA単位系を採用している。

マイナーな単位系

一般化CGS単位系

3元のCGS電磁単位系・静電単位系を、形式的に、MKSA単位系のような4元系に修正した単位系である。MKSA単位系への移行の際の過渡的措置として、1961年、国際純粋・応用物理学連合 (IUPAP) の国際記号単位述語委員会 (SUN委員会) が導入した。

一般化CGS電磁単位系は、電流の単位 emu にビオ (Bi) という名称を与え、基本単位とする。これにより、μ0 は無次元量の1ではなく、次元を持つ 1 dyn/Bi2 となる。

一般化CGS静電単位系は、電荷の単位としての esu をフランクリン (Fr) と呼び基本単位とする。これにより、ε0 は無次元量の1ではなく、次元を持つ 1 Fr2/erg·cm となる。ただし、この基本単位の名称フランクリンは、（一般化電磁単位系のビオと異なり）従来からあった名称である。

ただしこれらの変更では単位の大きさは変わらず、基本単位からの組み立てのみが変わる。

MKSC単位系・MKSΩ単位系

MKSA単位系と同様の4元系だが、第4の基本単位としてアンペア (A) の代わりにクーロン (C) やオーム (Ω) を使った単位系である。実用上はMKSA単位系とまったく同じで、単位の定義のしかたが違うだけである。

MKSP単位系

MKSP単位系は、ヘヴィサイド単位系のような、3元の対称な有理系である。ただし、力学単位系としてMKS単位系を採用している。鈴木範人・小塩高文による。

ヘヴィサイド単位系と同様に理論計算が簡便で、しかしヘヴィサイド単位系と異なり力学単位はSIと同じで比較的相性がいいので、数値実験に使われることがある。

単位名称

CGS電磁単位系・静電単位系・ガウス単位系は、3元系なので理論上は力学単位から全ての単位を組み立てられるが、電磁単位系での電流の単位が dyn1/2 になるなど指数に半整数が表れる問題があるので、そのような表現はされなかった。

電磁単位系の電流の単位は電磁単位 (emu)、静電単位系の電荷の単位は静電単位 (esu) と呼ばれた。これらはガウス単位系でも使うことができる。また、3元系の特徴としていくつかの物理量の次元が同じになり、たとえば磁束も emu で表せた。

MKSA単位系の元となった実用単位は、当初より単位名称と共に考案された。電圧のボルト (V)、電流のアンペア (A)、電荷のクーロン (C) などがそうである。ただし電気抵抗のオーム (Ω) は、実用単位以前から存在した単位と名称である。

実用単位との比較の問題から、実用単位の名称に接頭辞アブ (ab; absoluteの略) を付けて、元となった電磁単位を表すようになった。たとえば、電磁単位系の電流の単位 (emu) はアブアンペア (abA) となる。静電単位系でもこれに倣ってスタット（stat; staticの略）をつけて表すこともある。たとえば、静電単位系の電荷の単位 (esu) はスタットクーロン (statC) となる。

いくつかのガウス単位系の単位には、固有の名称が与えられた。

フランクリン以外は磁気系の単位、つまり、電磁単位系と共通の単位である。

一般化電磁単位系では、電流の単位を新しくビオ (Bi) と名づけた（これはガウス単位系でない唯一の単位名称となった）。

MKSA単位系（および国際単位系）では、実用単位の名称がそのまま使われる。

換算

各単位系を相互に変換するには、簡単な計算で求められる係数を乗算すればよい。なお、CGS単位系の基本単位となる物理量や、国際単位系(SI)の基本単位となる電流（アンペア）は、その定義通りの実験が困難であるため、より高い精度の別の実験から間接的に求められている。

CGSガウス単位系の単位を1とした場合、各単位系の単位の換算は以下のようになる。ただし、c は光速そのものではなく、光速を cm/s で表した場合の数値 c = 2.99792458テンプレート:E（単位なし）とする。

　 電流 磁束 電荷 電圧
CGS電磁単位系 1 1 1/c c
CGS静電単位系 c 1/c 1 1
CGSガウス単位系 1 1 1 1
ヘヴィサイド単位系 <math>\sqrt{4\pi}</math> <math>1/\sqrt{4\pi}</math> <math>\sqrt{4\pi}</math> <math>1/\sqrt{4\pi}</math>
MKSA単位系 10 10-8 10/c 10-8c

テンプレート:電磁気単位の換算

外部リンク

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