算術平均

算術平均（さんじゅつへいきん、arithmetic mean）または相加平均（そうかへいきん）は、統計量のひとつ。数学および統計学における標本空間の代表値のひとつであり、一群の数をひとつの数値で表すために用いる。文脈上明らかな場合は単に平均とも呼ぶ。算術平均または相加平均という呼称は主に数学や統計学で使われ、幾何平均や調和平均などの他の平均と区別するためのものである。

数学や統計学だけでなく、経済学、社会学、歴史学などあらゆる学問分野で算術平均が使われている。例えば、国内総生産を人口で割った算術平均からその国民の平均収入を推定することができる。

算術平均は代表値としてよく使われるが、ロバスト統計量ではなく、外れ値に大きく影響される。特に歪度の大きい分布では算術平均は通常の「真ん中」の観念と一致しないことがあり、中央値のようなロバスト統計量の方が代表値としてふさわしい場合がある。

定義

標本空間が <math>\{a_1,\ \ldots,\ a_n\}</math> であるとき、その算術平均 <math>A</math> は次のとおりに定義される。

<math>A = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math>

<math>\{a_1,\ \ldots,\ a_n\}</math> が母集団そのものなら<math>A</math> を母平均 (population mean) と呼び、統計標本なら <math>A</math> を標本平均 (sample mean) と呼ぶ。

動機となる属性

算術平均には、代表値として用いるのに適した次のような属性がある。

• <math>a_1,\ \ldots,\ a_n</math> の算術平均が <math>A</math> であるとき、次式が成り立つ。

  <math>(a_1-A) + \ldots + (a_n-A) = \sum_{k=1}^{n} a_k - nA = 0</math>

<math>(a_k-A)</math> は <math>a_k</math> と平均値との距離なので、平均値の左にある数と右にある数が釣り合っていると解釈することもできる（つまり、<math>A</math> は重心である）。この場合の平均とは、個々の数と平均値との差（偏差）の総和がゼロになる唯一の数値である。

• <math>a_1,\ \ldots,\ a_n</math> の算術平均が <math>A</math> であるとき、偏差の平方 <math>(a_k-A)^2</math> の総和を最小にするという意味で、すなわち平均二乗偏差を最小にするという意味で、算術平均が最良の単一推測値となる。
• 正規分布では、算術平均は中央値や最頻値などの代表値と等しい。

算術平均と中央値

算術平均は、多くの場合に中央値とは異なる。例えば、標本空間 {1,2,3,4} の算術平均は2.5であり、中央値と一致する。しかし {1,2,4,8,16} のように偏った標本空間では中央値と算術平均は大きく異なる。この場合の算術平均は6.2だが、中央値は4である。算術平均と中央値との差は、その標本空間の偏りを表している。

この性質は経済学などで応用されている。例えば1980年代以降のアメリカ合衆国では、収入の中央値は収入の算術平均より低く、その差は広がり続けている。これは貧富の差が広がっていることを意味する。

角度

テンプレート:Main 位相や角度などの周期的データを扱う場合は、特別な配慮が必要である。1°と359°の単純な算術平均は180°になってしまうが、これは2つの意味で正しくない。

• 角度の値は360°（単位がラジアンの場合は 2π）の剰余として定義される。したがって、1°と359°を、1°と −1°とみなすこともできるし、1°と719°とみなすこともでき、それぞれの単純な算術平均は異なる。
• この例では0°（または360°）が幾何学的によりよい「平均」であり、これのほうがばらつきが小さい。

一般にこのような場合に単純に算術平均を求めると、平均値が値の範囲の中央付近になる傾向がある。これを防ぐには、ばらつきが最小となるような点を平均値とし、円周上の2点の角度の小さい方を2点の角度とするよう再定義する。

参考文献

• Darrell Huff, How to lie with statistics, Victor Gollancz, 1954 (ISBN 0-393-31072-8).

関連項目

• 平均
• 幾何平均
• 中央値
• 標準偏差
• 要約統計量
• 分散

外部リンク

• Calculations and comparisons between arithmetic and geometric mean of two numbers
• Mean or Average
• テンプレート:MathWorld

テンプレート:統計学it:Media aritmetica