直角三角形

直角三角形（ちょっかくさんかくけい、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形の一種である。3つの角のうち、他のどの角よりも小さくない角に注目したとき、その角が直角 (90°=π/2 rad) に等しい図形を指す。

ファイル:直角三角形.png

直角三角形

直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理（三平方の定理）と呼ばれる。記号は⊿であらわす。

直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角 と呼ぶ。それらの大きさの和は、直角に等しい。

直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を 直角をはさむ2辺 または単に隣辺と言う。

直角三角形の面積

直角三角形の面積は、直角をはさむ２辺の長さを掛け合わせた積の二分の一に等しい。

直角三角形の斜辺

直角三角形の斜辺の長さは、直角をはさむ２辺の長さを足し合わせた和から、内接円の直径を引いた差に等しい。

三平方の定理（ピタゴラスの定理、勾股定理）

直角三角形の3本の辺では、常に斜辺が最も長くなる。直角でない角A, Bはどちらも90°未満の大きさである。斜辺 c と他の2辺 a, b との関係は

<math>a^2+b^2=c^2\,</math>

であり、これが成り立つ三角形は直角三角形である。

角が異なる頂点同士が重なるように2つの直角三角形を並べると、長方形ができる。直角三角形は面積 ab の長方形を1本の対角線で区切って2等分した図形なので、面積は ab/2 である。また直角三角形を直角の頂点同士および他のもう1角の頂点同士が重なるように2つ並べると二等辺三角形ができる。合同な三角形を2つ並べて別の三角形ができるのはこの場合のみである。

斜辺の中点は直角三角形の外心である。すなわち斜辺の中点から点A, B, Cまでの距離は全て等しい。また直角の頂点Cは垂心である。

三角関数

各辺の比は各内角の三角比で

<math>\sin B = \frac b c</math>

<math>\cos B = \frac a c</math>

<math>\tan B = \frac b a</math>

と表す。

なお

<math>\sin^2B + \cos^2B = \frac {b^2+a^2}{c^2}=1</math>

である。

利用

三角定規は直角三角形であり、直角でない2つの角が30°および60°の半正三角形（正三角形を半分にしたもの）と2つの角がともに45°である直角二等辺三角形との2種類を1組とするのが一般的である。半正三角形の長いほうの隣辺と、直角二等辺三角形の斜辺の長さは同じ場合が多い。これらを使って平行線や垂線を容易に作図できる。

東洋における歴史

明治初期の日本では、直角三角形は「勾股弦の形」と呼ばれていた。この名の起源は漢の『九章算術』「勾股」章にまで遡ることができる。なお、『九章算術』は現代の中国はもちろんのこと、日本の和算にも引き継がれている。また「勾股弦」の語は現在の日本の伝統建築の規矩術でも用いられている。（斜辺を「玄」、隣辺を「勾」、「殳」とあらわす。）