三段論法
三段論法（さんだんろんぽう、テンプレート:Lang-el-short, シュロギスモス[1]、テンプレート:Lang-la-short、テンプレート:Lang-en-short）は、論理学における論理的推論の型式のひとつ。典型的には、大前提、小前提および結論という3個の命題を取り扱う。これを用いた結論が真であるためには、前提が真であること、および論理の法則（同一律、無矛盾律、排中律、および充足理由律）が守られることが必要とされる[2]。
アリストテレスの『オルガノン』（『分析論前書』『分析論後書』）によって整備された。
目次
語義
もともと言語依拠段階的推論法というような意味合いである。3段と限定されてはいない。そのように限定されるかのような誤解を招く邦訳語であるが、古代ギリシアが確立したものが3段構成だったために、欧米文明へ向けての開化という実際目的に即した訳語が作られた。インド固有の三段論法では5段構成である。「三段論法」が3段構成であるとは限らない。
構成
3つの命題
古代ギリシアからのものは「大前提」「小前提」および「結論」の三つの不可欠の命題から成る推論規則である。（たとえ下記の仮言三段論法の場合でも、条件付けられた後の命題がある。）
ヨーロッパにおいてはアリストテレスによって、一般の側から個別の側へ向かう演繹法に準拠して整備された。「大前提」には（「結論」にて述語（P）となる要素を含んだ）「一般的な原理」を置き、「小前提」には（「結論」にて主語（S）となる要素を含んだ）「目前の具体的な事実」を置き、（主語（S）と述語（P）の関係性としての）「結論」を導き出す。以下に「定言的三段論法」の例を示す。
- 大前提：全ての人間は死すべきものである。
- 小前提：ソクラテスは人間である。
- 結論：ゆえにソクラテスは死すべきものである。
（なお、これが今日に至るまでに伝統的なものになっているが、アリストテレスがその著『分析論後書』において例示している、定言命題を欠いて仮言命題一本のみの「三段論法」とは形式が異なる。）
命題の4つの型
三段論法を構成する各命題は、「全称 - 特称」「肯定 - 否定」の区別の組み合わせによって、A,E,I,Oの4つの「型」に分類される。（括弧内は今日の一階述語論理における量化子を用いた表現。）
- A ＝ 全称肯定判断 ≪全ての人間は生物である≫（∀）
- E ＝ 全称否定判断 ≪全ての人間は不死ではない≫（¬∀）
- I ＝ 特称肯定判断 ≪ある人間は学生である≫（∃）
- O ＝ 特称否定判断 ≪ある人間は学生ではない≫（¬∃）
（なお、このAとIはラテン語の「affirmo」（肯定）、EとOはラテン語の「nego」（否定）から採られた記号で、特に深い意味があるわけではない。）
命題の3要素と4つの格（配列パターン）
さらに、各命題を構成する要素として、結論における主語Sと述語P、そしてこの結論を導くために前提に現れる媒概念（中項）Mの3つがある。各命題はこの3つの要素の内の2つ（すなわち、2つの項、両項）から構成される。「結論」は常に「S - P」であり、「大前提」は「PとMの組み合わせ」、「小前提」は「SとMの組み合わせ」から成る。
三命題における S, P, Mの配列パターンを「格」 (かく、英 : figure) と呼び、これには4つの可能性がある。
| 格 | 大前提 | 小前提 | 結論 |
|---|---|---|---|
| 第一格 | M - P | S - M | S - P |
| 第二格 | P - M | S - M | S - P |
| 第三格 | M - P | M - S | S - P |
| 第四格 | P - M | M - S | S - P |
（なお、第四格は、ガレノスが形式整備のために補完したものである。アリストテレスは、実用性は無いと考え、省いたものと考えられている。）
ちなみに、上記した命題の4つの「型」（A, E, I, O）と、この4つの「格」を組み合わせて表現すると、例えば、第一格の命題が全てAの場合は、（分かりやすくこれを小文字のaにして）
- MaP SaM SaP
といった具合に表現できる。
種類
4つの型（A, E, I, O）を採り得る各命題が3つ（「大前提」「小前提」「結論」）組み合わされ、更にその組み合わせが命題3要素の配列パターンによって4つの「格」に分けられるので、全部で43×4=256通りの三段論法がありえるが、実際にはそのうちの19通り（厳密には「弱勢式」[3]の5通りを加えて24通り）のみから恒真な結論が得られる。このとき2つの前提はともに真でなければならない。（真でない前提からは、しばしばパラドックスが導かれる。）
その19式（24式）を示せば、
- 第一格では AAA, (AAI,) EAE, (EAO,) AII, EIO
- 第二格では EAE, (EAO,) AEE, (AEO,) EIO, AOO
- 第三格では AAI, EAO, IAI, AII, OAO, EIO
- 第四格では AAI, AEE, (AEO,) IAI, EAO, EIO
である。
詩による表現
「定言三段論法」における上記の19式を覚えるため、中世（スコラ学）ではsyllogismusと呼ばれるラテン語の詩が作られた。
この詩から子音を取り除くことによって三段論法の式が得られ（上記の詩の強調文字の部分が式である）、それぞれの式を呼ぶのには詩のおのおのの単語を用いる。
また、詩の1行目が第一格、2行目が第二格、3行目が第三格、4行目が第四格に対応している。
また、第一格以外の格は、第一格に還元され得るが、式の名称に含まれる子音のうちs, m, p および c は還元の際の手引きとなるもので、s および p はそれぞれ直前の母音で表される式を「単純換位」あるいは「限量換位」せよという意味であり、m は「前提の変換」を命じ、c は「三段論法の換位」すなわち帰謬法によって証明せよという意味である。
冒頭で示した三段論法の例は第一格の Barbaraに対応している。
- 大前提：全ての人間は死すべきものである。（A, M-P：全てのMはPである）
- 小前提：ソクラテスは人間である。（A, S-M：全てのSはMである）
- 結論：ゆえにソクラテスは死すべきものである。（A, S-P：全てのSはPである）
ベン図による表現
上記の19式（24式）を「ベン図」で表すと、以下のようになる。
上に「M」（中項）、左下に「S」（主語）、右下に「P」（述語）が配置され、その3つの関係が示されている。また、右上に「大前提」、左上に「小前提」、下に「結論」が補足的に示されている。
黒い領域は要素が無いことを表す、赤い領域は特称を表す。「弱勢式」の項目は背景を灰色で示している。
（このように、「オイラー図」と異なり、「ベン図」は直感的にやや分かりづらい面があるので注意。）
| AAA | EAE | AEE | AII | IAI | AOO | OAO | EIO | AAI | EAO | AEO | |
| 1 | 50px Barbara |
50px Celarent |
50px Darii |
50px Ferio |
50px Barbari |
50px Celaront |
|||||
| 2 | 50px Cesare |
50px Camestres |
50px Baroco |
50px Festino |
50px Cesaro |
50px Camestros | |||||
| 3 | 50px Datisi |
50px Disamis |
50px Bocardo |
50px Ferison |
50px Darapti |
50px Felapton |
|||||
| 4 | 50px Calemes |
50px Dimatis |
50px Fresison |
50px Bamalip |
50px Fesapo |
50px Calemos |
オイラー図による表現
上記の19式（24式）を、より直感的に分かりやすい「オイラー図」で表すと、以下のようになる。
「M」（中項）は青、「S」（主語）は赤、「P」（述語）は緑で表現されている。「弱勢式」の項目は背景を灰色で示している。
| AAA | EAE | AEE | AII | IAI | AOO | OAO | EIO | AAI | EAO | AEO | |
| 1 | 50px Barbara |
50px Celarent |
50px Darii |
50px Ferio |
50px Barbari |
50px Celaront |
|||||
| 2 | 50px Cesare |
50px Camestres |
50px Baroco |
50px Festino |
50px Cesaro |
50px Camestros | |||||
| 3 | 50px Datisi |
50px Disamis |
50px Bocardo |
50px Ferison |
50px Darapti |
50px Felapton |
|||||
| 4 | 50px Calemes |
50px Dimatis |
50px Fresison |
50px Bamalip |
50px Fesapo |
50px Calemos |
詳細
包含タイプ
AAA-1（Barbara）
第一格のAAA、すなわち「MaP SaM SaP」の三段論法。
「入れ子」式に、主語（S）が述語（P）に包含されるパターン。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pである。 (MaP)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのS」は、Pである。(SaP)
具体例。（M=人間、S=ギリシア人、P=死ぬ存在）
- 大前提：「全ての人間」は、「死ぬ存在」である。 (MaP)
- 小前提：「全てのギリシア人」は、「人間」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのギリシア人」は、「死ぬ存在」である。(SaP)
AAI-1（Barbari） : 弱勢式
第一格のAAI、すなわち「MaP SaM SiP」の三段論法。
上記の「AAA-1」と同じ形だが、結論の主語（S）だけを不必要に特称にしてしまっている「弱勢式」。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pである。(MaP)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=人間、S=ギリシア人、P=死ぬ存在）
- 大前提：「全ての人間」は、「死ぬ存在」である。(MaP)
- 小前提：「全てのギリシア人」は、「人間」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるギリシア人」は、「死ぬ存在」である。(SiP)
AAI-4（Bamalip）
第四格のAAI、すなわち「PaM MaS SiP」の三段論法。
「AAA-1」とは逆に、主語（S）が述語（P）を包含してしまうパターン。したがって、主語（S）の観点から見れば、常にその一部だけが、述語（P）（の全体）に該当することになる。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=人間、S=死ぬ存在、P=ギリシア人）
- 大前提：「全てのギリシア人」は、「人間」である。(PaM)
- 小前提：「全ての人間」は、「死ぬ存在」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある死ぬ存在」は、「ギリシア人」である。(SiP)
一部重複（絶対）タイプ
AII-1（Darii）
第一格のAII、すなわち「MaP SiM SiP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pである。(MaP)
- 小前提：「あるS」は、Mである。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=ウサギ、S=ペット、P=有毛生物）
- 大前提：「全てのウサギ」は、「有毛生物」である。(MaP)
- 小前提：「あるペット」は、「ウサギ」である。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるペット」は、「有毛生物」である。(SiP)
AII-3（Datisi）
第三格のAII、すなわち「MaP MiS SiP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pである。(MaP)
- 小前提：「あるM」は、Sである。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=ウサギ、S=ペット、P=有毛生物）
- 大前提：「全てのウサギ」は、「有毛生物」である。(MaP)
- 小前提：「あるウサギ」は、「ペット」である。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるペット」は、「有毛生物」である。(SiP)
IAI-3（Disamis）
第三格のIAI、すなわち「MiP MaS SiP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「あるM」は、Pである。(MiP)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=ウサギ、S=有毛生物、P=ペット）
- 大前提：「あるウサギ」は、「ペット」である。(MiP)
- 小前提：「全てのウサギ」は、「有毛生物」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある有毛生物」は、「ペット」である。(SiP)
OAO-3（Bocardo） : 否定形
第三格のOAO、すなわち「MoP MaS SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「あるM」は、Pではない。(MoP)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=ネコ、S=哺乳類、P=有尾生物）
- 大前提：「あるネコ」は、「有尾生物」ではない。(MoP)
- 小前提：「全てのネコ」は、「哺乳類」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある哺乳類」は、「有尾生物」ではない。(SoP)
IAI-4（Dimatis）
第四格のIAI、すなわち「PiM MaS SiP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「あるP」は、Mである。(PiM)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
具体例。（M=ウサギ、S=有毛生物、P=ペット）
- 大前提：「あるペット」は、「ウサギ」である。(PiM)
- 小前提：「全てのウサギ」は、「有毛生物」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある有毛生物」は、「ペット」である。(SiP)
AAI-3（Darapti）
第三格のAAI、すなわち「MaP MaS SiP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てM」は、Pである。(MaP)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pである。(SiP)
- 大前提：「全ての正方形」は、「長方形」である。(MaP)
- 小前提：「全ての正方形」は、「菱形」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある菱形」は、「長方形」である。(SiP)
一部重複（可能性・不明）タイプ : 全て否定形
EIO-1（Ferio）
第一格のEIO、すなわち「MeP SiM SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pではない。(MeP)
- 小前提：「あるS」は、Mである。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=宿題、S=読書、P=楽しみ）
- 大前提：「全ての宿題」は、「楽しみ」ではない。(MeP)
- 小前提：「ある読書」は、「宿題」である。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある読書」は、「楽しみ」ではない。(SoP)
EIO-2（Festino）
第二格のEIO、すなわち「PeM SiM SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mではない。(PeM)
- 小前提：「あるS」は、Mである。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=宿題、S=読書、P=楽しみ）
- 大前提：「全ての楽しみ」は、「宿題」ではない。(PeM)
- 小前提：「ある読書」は、「宿題」である。(SiM)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある読書」は、「楽しみ」ではない。(SoP)
EIO-3（Ferison）
第三格のEIO、すなわち「MeP MiS SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pではない。(MeP)
- 小前提：「あるM」は、Sである。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=宿題、S=読書、P=楽しみ）
- 大前提：「全ての宿題」は、「楽しみ」ではない。(MeP)
- 小前提：「ある宿題」は、「読書」である。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある読書」は、「楽しみ」ではない。(SoP)
EIO-4（Fresison）
第四格のEIO、すなわち「PeM MiS SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mではない。(PeM)
- 小前提：「あるM」は、Sである。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=宿題、S=読書、P=楽しみ）
- 大前提：「全ての楽しみ」は、「宿題」ではない。(PeM)
- 小前提：「ある宿題」は、「読書」である。(MiS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある読書」は、「楽しみ」ではない。(SoP)
EAO-3（Felapton）
第三格のEAO、すなわち「MeP MaS SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てM」は、Pではない。(MeP)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=花、S=植物、P=動物）
- 大前提：「全ての花」は、「動物」ではない。(MeP)
- 小前提：「全ての花」は、「植物」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある植物」は、「動物」ではない。(SoP)
EAO-4（Fesapo）
第四格のEAO、すなわち「PeM MaS SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mではない。(PeM)
- 小前提：「全てのM」は、Sである。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=花、S=植物、P=動物）
- 大前提：「全ての動物」は、「花」ではない。(PeM)
- 小前提：「全ての花」は、「植物」である。(MaS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある植物」は、「動物」ではない。(SoP)
AOO-2（Baroco）
第二格のAOO、すなわち「PaM SoM SoP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「あるS」は、Mではない。(SoM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=有用、S=ウェブサイト、P=参考情報）
- 大前提：「全ての参考情報」は、「有用」である。(PaM)
- 小前提：「あるウェブサイト」は、「有用」ではない。(SoM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるウェブサイト」は、「参考情報」ではない。(SoP)
分裂（排反）タイプ : 全て否定形
EAE-1（Celarent）
第一格のEAE、すなわち「MeP SaM SeP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pではない。(MeP)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのS」は、Pではない。(SeP)
具体例。（M=爬虫類、S=ヘビ、P=有毛生物）
- 大前提：「全ての爬虫類」は、「有毛生物」ではない。(MeP)
- 小前提：「全てのヘビ」は、「爬虫類」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SeP)
EAO-1（Celaront） : 弱勢式
第一格のEAO、すなわち「MeP SaM SoP」の三段論法。
上記の「EAE-1」と同じ形だが、結論の主語（S）だけを不必要に特称にしてしまっている「弱勢式」。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのM」は、Pではない。(MeP)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=爬虫類、S=ヘビ、P=有毛生物）
- 大前提：「全ての爬虫類」は、「有毛生物」ではない。(MeP)
- 小前提：「全ての爬虫類」は、「爬虫類」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SoP)
EAE-2（Cesare）
第二格のEAE、すなわち「PeM SaM SeP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mではない。(PeM)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのS」は、Pではない。(SeP)
具体例。（M=爬虫類、S=ヘビ、P=有毛生物）
- 大前提：「全ての有毛生物」は、「爬虫類」ではない。(PeM)
- 小前提：「全てのヘビ」は、「爬虫類」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SeP)
EAO-2（Cesaro） : 弱勢式
第二格のEAO、すなわち「PeM SaM SoP」の三段論法。
上記の「EAE-2」と同じ形だが、結論の主語（S）だけを不必要に特称にしてしまっている「弱勢式」。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mではない。(PeM)
- 小前提：「全てのS」は、Mである。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=爬虫類、S=ヘビ、P=有毛生物）
- 大前提：「全ての有毛生物」は、「爬虫類」ではない。(PeM)
- 小前提：「全ての爬虫類」は、「爬虫類」である。(SaM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SoP)
AEE-2（Camestres）
第二格のAEE、すなわち「PaM SeM SeP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「全てのS」は、Mではない。(SeM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのS」は、Pではない。(SeP)
具体例。（M=爬虫類、S=有毛生物、P=ヘビ）
- 大前提：「全てのヘビ」は、「爬虫類」である。(PaM)
- 小前提：「全ての有毛生物」は、「爬虫類」ではない。(SeM)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SeP)
AEO-2（Camestros） : 弱勢式
第二格のAEO、すなわち「PaM SeM SoP」の三段論法。
上記の「AEE-2」と同じ形だが、結論の主語（S）だけを不必要に特称にしてしまっている「弱勢式」。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「全てのS」は、Mではない。(SeM)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=有蹄生物、S=人間、P=ウマ）
- 大前提：「全てのウマ」は、「有蹄生物」である。(PaM)
- 小前提：「全ての人間」は、「有蹄生物」ではない。(SeM)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある人間」は、「ウマ」ではない。(SoP)
AEE-4（Calemes）
第四格のAEE、すなわち「PaM MeS SeP」の三段論法は、以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「全てのM」は、Sではない。(MeS)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのS」は、Pではない。(SeP)
具体例。（M=爬虫類、S=有毛生物、P=ヘビ）
- 大前提：「全てのヘビ」は、「爬虫類」である。(PaM)
- 小前提：「全ての爬虫類」は、「有毛生物」ではない。(MeS)
- 結論：ゆえに（∴）、「全てのヘビ」は、「有毛生物」ではない。(SeP)
AEO-4（Calemos） : 弱勢式
第四格のAEO、すなわち「PaM MeS SoP」の三段論法。
上記の「AEE-4」と同じ形だが、結論の主語（S）だけを不必要に特称にしてしまっている「弱勢式」。
以下のようになる。
- 大前提：「全てのP」は、Mである。(PaM)
- 小前提：「全てのM」は、Sではない。(MeS)
- 結論：ゆえに（∴）、「あるS」は、Pではない。(SoP)
具体例。（M=有蹄生物、S=人間、P=ウマ）
- 大前提：「全てのウマ」は、「有蹄生物」である。(PaM)
- 小前提：「全ての有蹄生物」は、「人間」ではない。(MeS)
- 結論：ゆえに（∴）、「ある人間」は、「ウマ」ではない。(SoP)
その他
なお上に示した「定言三段論法」のほか、その発展として
がある。
また、ジョン・スチュアート・ミルは、如上のソクラテス云々の場合、結論を知っていないならば、大前提の全称判断は得られないのだから、三段論法は一種の循環論証であると批判した。
脚注
- ↑ 原義は「推論術」といった程度の意味。
- ↑ エス・エヌ・ヴィノグラードフ、ア・エフ・クジミン『論理学入門』西牟田久雄、野村良雄訳、青木書店(青木文庫)1973年、157頁
- ↑ 結論（S-P）を特称化（大小対当）したもの。
