クルト・ゲーデル
テンプレート:Infobox scientist クルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの数学者・論理学者である。業績には、完全性定理及び不完全性定理、連続体仮説に関する研究が知られる。
略歴
1924年にウィーン大学に入学したゲーデルは、まず物理学、のちに数学を学び、1930年には最初の重要な業績である「第一階述語論理の完全性定理」を発表し、学位を得た。
翌1931年、ゲーデル数の概念を用い、20世紀の数学基礎論、論理学にとって最も重要な発見とされる「不完全性定理」を発表した[1]。これはヒルベルトが数学の無矛盾性を証明するために推進した「ヒルベルト・プログラム」にからんで研究されたものであるが、「数学は自己の無矛盾性を証明できない」ことを示した不完全性定理は、正にヒルベルト学派の主張した有限の立場を忠実に用い、手法としての超数学を具体化して、皮肉にもそのプログラムが本質的に不可能であることを暗示した。不完全性定理は、ジョン・フォン・ノイマンら当代一流の学者の激賞を受け、「人間の理性の限界を示した」とも評されている。
1940年には、ヒルベルトの第一問題（連続体仮説）について、集合論のZF公理系が無矛盾ならば、そこに選択公理と一般連続体仮説を加えても無矛盾であることを証明した[2]。以上がゲーデルの三大業績と呼ばれているが、この後ゲーデルは連続体仮説に関する研究からは離れてしまった。1963年、ポール・コーエンはZF公理系に選択公理と一般連続体仮説の否定を加えても無矛盾であることを証明し、ゲーデルの結果と合わせて選択公理と一般連続体仮説がZFとは独立である（証明も否定の証明も出来ない）ことを示した。コーエンの結果を知った時、ゲーデルはこれは自分が為すべき仕事だったと悔やんだと言われるが、コーエンの仕事自体については絶賛した。一方で、すべての数学的命題に対し人間は真偽を判定することが可能だと、ゲーデルは信じていたと言われる。特に、連続体仮説に関しては、その否定を信じていた。
その他の業績として、アインシュタインの一般相対性理論におけるゲーデル解（1949年）などがある。この解は非常に奇妙な性質を示したために、アインシュタインをして自身の理論に疑問を抱かせるに至った。
ゲーデルはウィーン大学の講師を勤めたが、1940年頃にはナチス・ドイツを逃れて妻アデルともどもアメリカ合衆国に移住した[3]。彼は米国の市民権を取得し、プリンストン高等研究所の教授となった。この研究所では、アインシュタインと家族ぐるみで親密に交流し、物理学や哲学などについて議論を交わした。
この渡米の時点ですでに人間不信に近い症状が出ていたようである。
1948年、ゲーデルはアメリカ市民権を取得する。このときの保証人になった一人がアインシュタインである。当時、アメリカ市民権の取得には米国憲法に関する面接試験が課せられていたが、ゲーデルはこの面接試験に臨むため、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。移民審査をする判事から「あなたは独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから安心してください」と言われたゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えたので、付き添いのアインシュタインたちが慌てて場をつくろう一幕があった[4]。
1970年代初頭には、ライプニッツによる「神の存在証明」を洗練しゲーデルの神の存在証明 (en) として知られる論文を知人に配布した。彼の意図は神学論争への加担ではなく、あくまで論理学的な興味の追求にあったため、誤解を恐れて生前は公表しなかった。その中で彼は、ライプニッツの主張について、公理系を解明しつつ様相論理の手法を用いて明確な定式化を試みた。この論文はゲーデルが没してから9年後の1987年に初めて公開された。
晩年は非常に内向的となり、精神にも失調をきたしていたらしく、毒殺されることを恐れる余り妻アデルが作った食事以外は自分が調理した食事すら口にしなかった。夏でも冬服を着込み、毒ガスによる暗殺を恐れたために冬でも家の窓を開け放っていた。人前に出ることはあまり無く、自宅にこもって哲学と論理学の研究を続けていた。最終的にはアデルが入院していた間に絶食による飢餓状態となり、プリンストン病院で死去したが、この時の体重は65ポンド（約29.5kg）しか無かった。彼の遺稿は、英語、ドイツ語、およびガベルスベルガー式速記と呼ばれるドイツの古い速記法で書かれている。ガベルスベルガー式速記で書かれている部分は、その速記法がすでに廃れているため、他の部分と比較して解読が困難であることで知られている。
脚注
- ↑ "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." (1931)
- ↑ "The Consistency of the Continuum Hypothesis" (1940)
- ↑ もっとも、ゲーデルはユダヤ系ではないこともあってナチスに中立的な立場だった。むしろ自分をユダヤ人と間違え冷遇したオーストリア学術界に対して強い反感を持っており、そこから離れたいという思いが強かったようである。その後、ゲーデル存命中にオーストリアから与えられた名誉号などは全て受領を拒否しているテンプレート:要出典。
- ↑ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、153-155頁）を参照。
関連項目
著作集
著書
- 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
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関連書
- 廣瀬健／横田一正著『ゲーデルの世界――完全性定理と不完全性定理――』海鳴社、1985年。ISBN 4875251068
- 論文「論理学における述語計算の公理の完全性」、「『プリンキピア・マテマティカ』やその関連体系での形式的に決定不可能な命題についてＩ」の翻訳あり
- 『ゲーデル 不完全性定理』林晋／八杉満利子訳・解説、岩波書店〈岩波文庫〉、2006年。ISBN 4003394410
- 論文「プリンキピア・マテマティカおよび関連した体系の形式的に決定不能な命題についてＩ」の翻訳と解説
- E．ナーゲル、J・R．ニューマン著『ゲーデルは何を証明したか――数学から超数学へ』林一訳、白揚社、1999年。ISBN 4826900872
- ダグラス・ホフスタッター『ゲーデル、エッシャー、バッハ――あるいは不思議の環 20周年記念版』野崎昭弘／柳瀬尚紀／はやしはじめ 訳、白揚社、2005年。ISBN 4826901259
- ジョン・W・ドーソンJr『ロジカル・ディレンマ ゲーデルの生涯と不完全性定理』村上祐子／塩谷賢訳、新曜社、2006年。ISBN 4788510286
- ゲーデルの遺稿を基にした詳細な伝記。
- 菊池誠 「On Godel′s Incompleteness Theorems(Godelの不完全性定理について)」[1]。
外部リンク
- O'Connor, John J; Edmund F. Robertson "Kurt Gödel". MacTutor History of Mathematics archive.
- The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum-Hypothesis with Set Theory（Google ブックス）
脚注
- ↑ 博士論文書誌データベース
