多胞体
多胞体（たほうたい）とは、一般次元のユークリッド空間における立体の一種である。特に4次元空間内における3次元の広がりを持った立体を指す場合が多く、ここではその場合について述べる。英語では、これを polychoron と呼び、一般次元のものは polytope と呼ばれる。一般の場合はポリトープを参照のこと。
線や面の数が最小の図形は、2次元では三角形、3次元では、四面体である。このことから4次元では、立体の数が最小の多胞体は、5つの四面体により構成されているものであることが予測でき、実際その通りである。これを五胞体という。
多胞体の種類
正多胞体
四次元における正多胞体とは、3次元空間でいう正多面体に相当する多胞体のことである。定義も正多面体と似ており概要は、
- 全ての胞が一種類の正多面体でできている。
- 一つの頂点に集まる正多面体の数が同じである（頂点は合同である）。
である。正多面体をあらわす記号であるシュレーフリ記号を四次元では、構成面の形を p、構成胞の1つの頂点に集まる面の数を q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。
4次元の正多胞体は、6種類存在する。
| 名前と三次元投影図 | 構成胞 | 構成面 | 面 | 辺 | 頂点 | シュレーフリ記号 | 対応する正多面体 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正五胞体 125px |
正四面体 | 正三角形 | 10 | 10 | 5 | {3,3,3} | 正四面体 |
| 正八胞体 （超立方体） 125px |
正六面体 | 正方形 | 24 | 32 | 16 | {4,3,3} | 正六面体 |
| 正十六胞体 125px |
正四面体 | 正三角形 | 32 | 24 | 8 | {3,3,4} | 正八面体 |
| 正二十四胞体 125px |
正八面体 | 正三角形 | 96 | 96 | 24 | {3,4,3} | （なし） |
| 正百二十胞体 125px |
正十二面体 | 正五角形 | 720 | 1200 | 600 | {5,3,3} | 正十二面体 |
| 正六百胞体 125px |
正四面体 | 正三角形 | 1200 | 720 | 120 | {3,3,5} | 正二十面体 |
双対関係は、
- 正八胞体⇔正十六胞体
- 正百二十胞体⇔正六百胞体
で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。
半正多胞体
四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は
- 全ての胞が数種類の正多面体、または半正多面体でできている。
- 全ての頂点が合同である。
4次元の場合、半正多胞体は全部で58種類ある（正多面体、半正多面体を底胞とする超角柱を含む。ただし角柱を底胞とする超角柱などの無限系列は除く）。その中には、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。四次元における例外的な立体が存在として捩れ二十四胞体と大反角柱の2つがある。3次元では一般的と考えられる、捩れ操作による半正多胞体は高次元では一般的ではないのである。
星型正多胞体
星型正多胞体とは、3次元空間でいう星型正多面体に相当する多胞体のことである。シュレーフリ･ヘスの多胞体とも言う。4次元の星型正多胞体は、10種類存在する。
| 名前 | シュレーフリ記号 |
|---|---|
| Icosahedral 120-cell | {3,5,5/2} |
| Great 120-cell | {5,5/2,5} |
| Grand 120-cell | {5,3,5/2} |
| Small stellated 120-cell | {5/2,5,3} |
| Great grand 120-cell | {5,5/2,3} |
| Great stellated 120-cell | {5/2,3,5} |
| Grand stellated 120-cell | {5/2,5,5/2} |
| Great icosahedral 120-cell | {3,5/2,5} |
| Grand 600-cell | {3,3,5/2} |
| Great grand stellated 120-cell | {5/2,3,3} |
広く定着している日本語名は現在のところない。
3次元の星型正多面体は4種類、4次元の星型正多胞体は10種類あるが、5次元以上の空間には星型正多胞体は存在しない。
一様多胞体
一様多胞体とは、3次元でいう一様多面体に相当する多胞体のことである。4次元の一様多胞体は現在、1849種類が確認されている。
準正多胞体
準正多胞体とは、3次元でいう準正多面体に相当する多胞体のことであり、一様多胞体のうち、辺の形状が合同な立体のことである。4次元の準正多胞体は、凸なものは5種類ある。
角柱・反角柱
3次元図形を4次元方向に並行移動すれば、そのまま角柱の4次元版が得られる。また4次元以上に現れる図形として双角柱 (duoprism) がある。これは2種類の角柱が4次元空間で絡まりあったような形状をしており、n角柱m個とm角柱n個からなる双角柱を(n - m)角柱と呼ぶ。
シュレーフリの公式
全ての4次元多胞体に対して、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって発見された公式
頂点の数 - 辺の数 + 面の数 - 立体の数 = 0
が有効である。もっと一般に、n次元の図形（単体的複体）のm次元の辺の数を am とするとき交代和
- <math>\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^m a_m = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots</math>
をその図形のオイラー標数と呼び、この公式をシュレーフリのn次元公式という。
奇数次元の多胞体の場合はオイラー数は 2 で、偶数次元の多胞体の場合はオイラー数は 0 である。
双対
四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものをいう。もっと一般にn次元多胞体の双対は、(n - 1)次元多胞体の数と頂点の数、(n - 2)次元多胞体の数と辺の数、…という様に入れ替えていったものをいう。
