正多面体

正多面体（せいためんたい、regular polyhedron）、またはプラトンの立体（プラトンのりったい、Platonic solid）とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。

三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示した五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる（参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形）。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体（別名：アルキメデスの立体）にも拡張することができる。

一覧

正多面体の表面積、体積は一辺を a とすれば、概略下記となる。

名前と図	構成面	辺	頂点	シュレーフリ記号	表面積とその概数	体積とその概数
正四面体 ファイル:120px-Tetrahedron-slowturn.gif	正三角形	6	4	{3,3}	<math>\sqrt{3}a^2</math> <math>\simeq 1.732a^2</math>	<math>{\sqrt{2}\over12}a^3</math> <math>\simeq 0.118a^3</math>
正六面体 ファイル:120px-Hexahedron-slowturn.gif	正方形	12	8	{4,3}	<math>6a^2\,</math>	<math>a^3\,</math>
正八面体 ファイル:120px-Octahedron-slowturn.gif	正三角形	12	6	{3,4}	<math>2\sqrt{3}a^2</math> <math>\simeq 3.464a^2</math>	<math>{\sqrt{2}\over3}a^3</math> <math>\simeq 0.471a^3</math>
正十二面体 ファイル:120px-Dodecahedron-slowturn.gif	正五角形	30	20	{5,3}	<math>3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2</math> <math>\simeq 20.65a^2</math>	<math>{15+7\sqrt5\over4}a^3</math> <math>\simeq 7.663a^3</math>
正二十面体 ファイル:120px-Icosahedron-slowturn.gif	正三角形	30	12	{3,5}	<math>5\sqrt3a^2</math> <math>\simeq 8.660a^2</math>	<math>{5\over12}(3+\sqrt5)a^3</math> <math>\simeq 2.182a^3</math>

双対

正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。 代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、

• 正二十面体 ↔ 正十二面体
• 正六面体 ↔ 正八面体
• 正四面体 ↔ 正四面体

の様に作ることが出来る。これらの関係を双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる（自己双対）。

ほかには、

• 正六面体の1つおきの頂点 → 正四面体
• 正十二面体の適当な頂点 → 正四面体、正六面体
• 正四面体の各辺の中点 → 正八面体
• 正八面体の各辺を黄金分割して結ぶ → 正二十面体

などがある。

星型正多面体というものもある。

関連項目

• 正多角形
• 正多胞体