位取り記数法

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位取り記数法（くらいどりきすうほう）は、数の表現方法の一種で、適当な自然数 N (> 1) を指定して N 種類の記号（数字）を用意し、それを列べることによって数を表すための規則である。

位取り記数法で指定された自然数 N をこの記数法の底（てい）または基数といい、底が N であるような位取り記数法を「N 進法」「N 進記数法」という。N 進法では、N 種類の数字からなる記号列において、隣り合う上位の桁（けた）に下位の桁の N 倍の意味を持たせる位取りによって数を表現する。

数を N 進法で表記することを「N 進表記」という。また、N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

N 進法の表記において正負や小数を表現する場合には、符号や小数点が併用される。

日常的に最多用されている記数法は十進法である。また、時間は三百六十単位を基本にして、十二単位、三十単位、六十単位の組合わせで表現され、場合によってはこれらの累乗数（十二進法、六十進法。三十進法は今の所使われていない）が用いられる。

概説

日常用いられている、十倍ごとに位をとる数の表記法は十進法と呼ばれ、零から九までの十通りの数値については、それぞれを表す 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 というような専用の文字（数字）が用意されている。そして 9 より一だけ大きい十を一文字で表記せず、1 と 0 の二文字を組み合わせて 10 と桁を上げて表記する。

同時に二文字の数字を使えば、00 から 99 まで百通り（十の平方）の数を表現することができる。99 より大きな数を表現するには、更にもう一文字（桁）増やして、100 と表記する（この表記法は 0 が発見されてから可能になった）。

このように、十種類の文字を列べて十通りの数を一桁で表し、百通りの数を二桁で、千通りの数を三桁で、というように十の N 乗通りの数を N 桁で表すのが十進法である。十進表記で記された数を十進数と呼ぶ流儀もある。

ここで、「十」という数を二に変えると二進法に、二十に変えると二十進法になる。例えば、二十進法では普通、0 から 9 までの数字十種類と、A から J までのアルファベット十種類、合わせて二十種類の文字を共に数字として扱い、数を表現する。例えば、十進法では 15 と二桁で表記される数も、二十進法では F と一文字で表記できる。

逆に、八進法では 0 から 7 までの八種類の文字を数字として扱い数を表現するので、十進法で 8 と書き表される数は、八進法では 10 と表され、二桁を必要とする。

自然数の表記

任意の自然数 T に対し、r を十分大きく取れば、

<math> T = c_0\cdot 1 + c_1N + c_2N^2 + \dots + c_rN^r</math>

を満たし、各 ci は 0, 1, 2, 3, ..., N - 1 のいずれかであるような {ci} を一意的に取ることができる。

実際、次のようにすれば {ci} と r を求めることができる（底変換アルゴリズム）。

  1. T を N で割った商を T1 とし、余りを c0 とする。
  2. T1 を N で割った商を T2 とし、余りを c1 とする。
  3. 以下 Ti を N で割った商を Ti+1 とし、余りを ci とする操作を繰り返す。
  4. Tk = 0 となったとき、r = k - 1 とする。

このとき、0 から N - 1 までの自然数に何らかの記号（数字）を対応させておいて、 cr, cr-1, ..., c1, c0 に対応する記号を順に並べれば、任意の自然数 T を有限個の記号で表記できる。この表記を T の N 進表記 という。

なお、上記の方法ではアルゴリズムが終了するまで r が幾つになるか分からないが、対数を用いれば

<math>\left\lfloor\log_N T\right\rfloor</math>

として事前に r を知ることもできる。ただし、

<math>\lfloor x\rfloor</math>

は x 以下で最大の整数である（床関数参照）。

二進表記 三進表記 六進表記 十進表記 十二進表記
1 1 1 1 1
10 2 2 2 2
11 10 3 3 3
100 11 4 4 4
101 12 5 5 5
110 20 10 6 6
111 21 11 7 7
1000 22 12 8 8
1001 100 13 9 9
1010 101 14 10 A
1011 102 15 11 B
1100 110 20 12 10

例

十進表記の 5213 を五進表記に置き換える場合：

  • 5213 ÷ 5 = 1042 余り 3
  • 1042 ÷ 5 = 208 余り 2
  • 208 ÷ 5 = 41 余り 3
  • 41 ÷ 5 = 8 余り 1
  • 8 ÷ 5 = 1 余り 3
  • 1 ÷ 5 = 0 余り 1

から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53 + 3 × 54 + 1 × 55 となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、55 = 3125, 56 = 15625 であるから、55 ≤ 5213 < 56 が成り立っているので、対数を取ると

<math>5 \le \log_{5}5213 < 6</math>

となり、

<math>r=\left\lfloor\log_{5}5213\right\rfloor =5</math>

が分かる。

二百七十の表記は、以下のとおりになる。（便宜上、計算式を十進表記で記す）

  • 二進表記 (100001110)2 : 270 = 256 + 14 = 28 + 23 + 22 + 21
  • 六進表記 (1130)6 : 270 = 216 + 54 = 1×63 + 1×62 + 3×61
  • 十進表記 27010 : 270 = 200 + 70 = 2×102 + 7×101
  • 十二進表記 (1A6)12 : 270 = 144 + 126 = 1×122 + 10×121 + 6
  • 二十進表記 (DA)20 : 270 = 260 ＋ 10 = 13×201 + 10

また、500 と表記される数は、十進表記では五百だが、十二進表記では七百二十を、二十進表記では二千を意味する。

これは、十二進表記では「五倍の百四十四（=十二の平方）」を意味し、二十進表記では「五倍の四百（=二十の平方）」を意味するからである。したがって、十二進表記の“500 ÷ 26 = 20”は、十進表記では“720 ÷ 30 = 24”となる。

整数の表記

T が負の数である場合には 記号列の先頭に負符号 − を付けて、その後に絶対値 |T| の N 進表記を続けることにすれば、任意の整数を同様にして表記できる。

二進表記 三進表記 六進表記 十進表記 十二進表記
−110 −20 −10 −6 −6
−101 −12 −5 −5 −5
−100 −11 −4 −4 −4
−11 −10 −3 −3 −3
−10 −2 −2 −2 −2
−1 −1 −1 −1 −1
0 0 0 0 0

有理数・実数の表記

小数の表記

任意の有理数・実数は

<math>a_l N^l + a_{l-1} N^{l-1} +\cdots +a_1 N+a_0 +\frac{a_{-1}}{N} +\frac{a_{-2}}{N^2} +\cdots</math>

（各位の ai は 0 以上 N 未満の整数）の形に一意的に表される。これを N 進法では（0 以上 N 未満の整数にそれぞれ記号を与えて）

<math>a_l a_{l-1} \ldots a_1 a_0 .a_{-1} a_{-2} \ldots</math>

と表記する。

十進表記 十二進表記 二十進表記
1 ÷ 2 0.5 0.6 0.A
1 ÷ 3 0.3333… 0.4 0.6D6D…
1 ÷ 4 0.25 0.3 0.5
1 ÷ 5 0.2 0.2497… 0.4

例えば、二進法で 0.111 と表される数は、零、二分の一、四分の一、八分の一を加えた数という意味である。

<math>0+1\times \frac{1}{2} +1\times \frac{1}{4} +1\times \frac{1}{8} =\frac{7}{8}</math>

この値は、十進法では 0.875 と表される。

底の変換

十進法で表された絶対値が1未満の小数をN進法に変換する場合、次の通りにする。

  1. Nを掛け、整数部と小数部に分ける。
  2. その小数部にNを掛け、再度整数部と小数部に分ける。
  3. 小数部が0になるまで同様の操作を繰り返す。
  4. 整数部を上位から並べる。

例えば十進表記の 0.8125 を2進表記にする場合、

  • 0.8125 × 2 = 1.625 = 0.625 + 1
  • 0.625 × 2 = 1.25 = 0.25 + 1
  • 0.25 × 2 = 0.5 = 0.5 + 0
  • 0.5 × 2 = 1.0 = 0.0 + 1

となるので、2進表記では 0.1101 となる。

p進数

テンプレート:Main N 進表記と関連が深い概念として、素数 p 毎に定まる p 進数というものもある。 両者は別概念ではあるが非常に関連があり、整数の p進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものが p進整数で、さらにそこに有限桁の小数部分を許したものが p進数である。ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）は本稿で扱う普通の数（実数）とは異なる。

関連項目

参考文献

ヘンリー・S・ウォーレン、ジュニア『ハッカーのたのしみ』 ISBN 4434046683テンプレート:Link GA

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