正四面体

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正四面体(せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron)は、4枚の合同正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

ファイル:TetraederCrossSection.png
正四面体のペトリー多角形

対称性

対称性は、

  • 中心と頂点を通る直線について3回対称
  • 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称(2回対称)
  • 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さを <math>a\,</math> とする。

面の面積 <math> A = {\sqrt{3}\over4} a^2 </math> <math> \approx 0.433012702 a^2 </math>
表面積 <math> S = 4 A = \sqrt 3 a^2 </math> <math> \approx 1.732050808 a^2 </math>
高さ <math> h = \sqrt \frac 2 3 a </math> <math> \approx 0.816496581 a </math>
体積 <math> V = \frac 1 3 A h ={\sqrt{2}\over12}a^3 </math> <math> \approx 0.117851130 a^3 </math>
辺と面のなす角 <math> \tan ^{-1} \sqrt 2 </math> <math> \approx 54.735610 ^\circ </math>
二面角 <math> \cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8 </math> <math> \approx 70.528779 ^\circ </math>
中心と頂点を結ぶ直線のなす角 <math> \frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3 </math> <math> \approx 109.471221 ^\circ </math>
頂点の立体角 <math> 3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi </math> <math> \approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr } </math>
外接球(頂点を通る球)の半径 <math> R = \sqrt \frac 3 8 a </math> <math> \approx 0.612372436 a </math>
内接球(面と接する球)の半径 <math> r = {1\over3} R = {1\over\sqrt{24}} a </math> <math> \approx 0.204124145 a </math>
中接球(辺と接する球)の半径 <math> r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = {1\over\sqrt{8}} a </math> <math> \approx 0.353553391 a</math>
傍接球の半径 <math>r _ \mathrm E = {1\over\sqrt{6}} a </math> <math> \approx 0.408248290 a </math>
頂点から傍心(傍接球の中心)までの距離 <math> \sqrt \frac 3 2 a </math> <math> \approx 1.224744871 a </math>

正四面体から作られる図形

テンプレート:Sister

テンプレート:多面体