双子素数

双子素数（ふたごそすう、twin prime）とは、差が 2 である2つの素数の組のこと。2 と 3 の組を除くと、双子素数はもっとも数の近い素数の組である。双子素数の例としては、 3 と 5 、 11 と 13 、 857 と 859 などがある。

双子素数の予想

素数が無限に存在することが古代ギリシャ時代から知られていたのに対し、双子素数は無限に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」や「双子素数の問題」と呼ばれる問題は、多くの数論学者が無限に存在するだろうと予想するが、2013年の時点で、いまだに数学上の未解決問題である。

なお、双子素数予想そのものが古代ギリシャ時代から知られていたとの記述あるいは示唆が多く見られるが、何らの確証も存在しない。文献の上で確認出来るものは、 A. de Polignac (1849) の言明である。彼は双子素数予想を一般化して任意の偶数を与え、それを差とする素数の組が無限にあるか、という問題を提出している。

上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はハーディ・リトルウッド予想の一部であり、これは素数定理と似通った次のような双子素数の漸近的な分布公式を予想している。

x 以下の双子素数の組の数は、漸近的に

<math>2C \frac {x}{(\log x)^2}</math>、あるいは<math>2C \displaystyle\int_2^x \frac {dx}{(\log x)^2}</math> で与えられる。後者の積分による表示式のほうがよい近似を与える。ここで、定数 C は次のような無限積で定義される。

<math>C= \prod_{p>2} \left\{ 1- \frac{1}{(p-1)^2} \right\} =0.6601...</math>

この定数 C は「ハーディ・リトルウッド定数」の一つである。

この問題は、特に二素数の場合のゴールドバッハの予想に密接に関係しており、篩法などの研究者によって双方の研究が同時に進められてきた。

2004年5月に、「双子素数が無数に存在することの証明」と題された論文が Richard Arenstorf によって提出され、上記のハーディ・リトルウッドの予想は正しいと主張したが、内容に重大な誤りがあるとして著者自身によって撤回された。

例

双子素数は、小さい順に (3, 5), (5, 7), (11, 13), … となり、ペアのうち小さい方のみ列挙すると、

3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, …（テンプレート:OEIS）

となる。

2011年12月の時点で知られている最大の双子素数は、200,700桁の 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ± 1 である。これは、2011年12月に分散コンピューティングプロジェクトの一つであるPrimeGridにより発見された。

双子素数に関する諸結果

• (3, 5) を除く全ての双子素数は、(6n − 1, 6n + 1) に自然数 n を代入した数となっている。
• x より小さな双子素数の個数は高々O(x/(log x)²) である。したがって、p と p + 2 が共に素数の場合、

  <math>B=\sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p+2} \right)</math>

（全双子素数の逆数の和）は収束する (Brun, 1919)。この和 (1.90195…) をブルンの定数と呼ぶ。このことは、全素数の逆数の和が発散することと対照的である。また、すべての偶数は、高々 9 個の素数の積で現される 2 つの整数の差として無限通りに表すことができることもヴィーゴ・ブルンは示している (Brun, 1920)。これらの結果はふるい法によるもので、ふるい法の最初の本格的な成果であると同時に、双子素数に関する最初の理論的な結果であり、双子素数に関する研究の出発点となった。

• ブルンの定数の2005年時点での最も正確な値は、B ≈ 1.902160583104... である。この値は、10¹⁶ までに現れる双子素数を使用して求められた (Sebah, 2002)。なお、1994年にブルンの定数を計算する過程で P54C Pentium の浮動小数点演算命令にバグが存在することが発見され、話題となった。詳しくは Pentium の項を参照。
• 陳景潤 (Chen Jing Run) は、p + 2 が高々 2 個の素数の積となるような素数 p が無限に多く存在することを示している (Chen, 1966)。
• p + 2 が高々 2 個の素数の積となるような素数 p を陳素数と定義したとき、無限個の陳素数の3項等差数列が存在する (Ben Green, テレンス・タオ, 2005)。
• (n, n + 2) が双子素数であるための必要十分条件は、4{(n − 1)! + 1} + n ≡ 0 (mod n(n + 2)) である (Clement, 1949)。
• 2005年に、D. Goldston-J. Pintz-C. Yildirim により、次のことが証明された。<math>\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)/\log p_n=0</math>
• 2013年4月17日に、テンプレート:仮リンクのテンプレート:仮リンク (Zhang Yitang) は、「隣り合った素数の隔たりが、7千万以下のものが無限組存在する」ことを証明した論文「Bounded Gaps Between Primes」を発表し、Annals of Mathematics にアクセプトされた。つまり，<math>\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n )<7\times 10^7</math>. なお，Zhang の定理に先行する主要な研究結果の詳細解説は T. Tao らによって与えられている: The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang ．

参考文献

• A. de Polignac, Six propositions arithmetiques deduites de crible d'Eratosthenes, Nouv. Ann. Math., 8 (1849), 423-429.
• V. Brun, Le crible d'Erathostene et la theoreme de Goldbach, Videnskapsselskapets Skrifter Kristiania, Mat.-nat. K1. 1920, No. 3, 36 pages.
• J. R. Chen, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, I, Sci. Sinica, 16(1973), 157-176 and II, ibid. 21(1978), 421-430.
• 本橋洋一，解析的整数論 I -- 素数分布論 --，朝倉書店，東京 2009　（第２刷 2012：加筆含む）ISBN 978-4-254-11821-6
• 本橋洋一，篩法概観，日本数学会「数学」57 (2005), 138-163. https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/57/2/57_2_138/_article/-char/ja/
• 日本数学会市民講演　”素数の翼に乗って”　http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf
• H. Davenport, Multiplicative Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2002.
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods, Academic Press, 1974.
• M. B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Springer-Verlag, 1996.
• P. Sebar, Counting twin primes and Brun's constant new computation, NMBRTHRY@listserv.nodak.edu mailing list, 2002

関連項目

• 三つ子素数
• 四つ子素数
• いとこ素数 （素数の差が4）
• セクシー素数 （素数の差が6）
• 素数定理
• ハーディ・リトルウッド予想
• 階乗
• 合同算術
• ブルンの定理
• 博士の愛した数式

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• Prime Pages, Top-20 Twin Primes