エアリー関数

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数学において、エアリー関数 <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> とは特殊関数の一つである。エアリー積分ともいう。

電磁波の回折や一様な場における粒子の運動におけるシュレーディンガー方程式の解(波動関数)や虹の光の振幅に現れる。 イギリスの天文学者ジョージ・ビドル・エアリー(George Biddell Airy)に由来する。

関数 <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> はエアリーの微分方程式

<math>\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} - xf(x) = 0</math>

の解である。

この微分方程式は、下記のグラフに見られるように振動から指数関数的振る舞いへと移るような解を持つ二階線型微分方程式の中で最も簡単な微分方程式である。

定義

上記の方程式は二階線型微分方程式なので、2つの線型独立な解を持つ。

一つを <math>Ai(x)</math> とし、もう一つの関数 <math>Bi(x)</math> は、下のグラフのように、 <math>x \rightarrow -\infty</math> としたときに、<math>Ai(x)</math>と振幅が等しくなり、位相 <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math> だけずれたような振動をもつ関数として取る。単に、 A の次のアルファベット B を用いただけで、 Bi という文字には大した意味はない。

実数 <math>x</math> に対し、エアリー関数 <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> は次の積分によって定義される。

<math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt</math>
<math>\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left\{\sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right) + \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\right\}\, dt</math>

ここで、 <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> が、上記の微分方程式を満たすことがわかる。

<math>t \rightarrow \infty</math> でも、被積分関数が0に収束することはないが、積分自体は収束する。

部分積分を用いると、この積分が収束することが分かる。 エアリー関数の定義式中の積分の内側を2度微分し、 <math>y = \pm\frac{t^3}{3} + xt</math> とし、 <math>t^{2}dt = \pm\left(dy-xdt\right)</math> を用いて部分積分すればよい。


ファイル:Airy plot.svg
赤色実線が <math>Ai(x)</math> を、緑色破線が <math>Bi(x)</math> を表す。

性質

<math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> の <math>x = 0</math>での値、及び、その微分係数は、ガンマ関数を用いて、

<math>
  \mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3}\Gamma(\frac23)}, \quad
  \mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6}\Gamma(\frac23)}, \quad
  \mathrm{Ai}'(0) = -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma(\frac13)}, \quad   
  \mathrm{Bi}'(0) = \frac{3^{1/6}}{\Gamma(\frac13)}.

</math> と書ける。 この時、 <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> のロンスキアンを求めると、

<math>W(x) = \frac{1}{\pi}</math>

となる。

<math>x > 0</math> であれば、 <math>Ai(x) > 0</math> で、0に収束する単調減少関数となる、この時 <math>Bi(x) > 0</math> で単調増加関数になる。

<math>x < 0</math> であれば、 <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> は、0 を境に振動し、<math>x</math> が小さい程、振動は激しく、振幅は小さくなっていく。

これは、エアリー関数の漸近公式からもわかる。

漸近公式

<math>x \rightarrow \infty</math> としたときの、エアリー関数の漸近的振る舞いは次で与えられる。

<math> \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math>
<math> \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math>

逆に、 <math>-x \rightarrow -\infty</math> であれば、

<math> \mathrm{Ai}(-x) \sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math>
<math> \mathrm{Bi}(-x) \sim -\frac{\sin(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math>

この公式は漸近展開 を用いることによって得られる。 これらの結果は (Abramowitz and Stegun, 1954) と (Olver, 1974)による。

複素変数

次のようにエアリー関数の定義域を、複素平面上に拡げることができる。

<math>\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt </math>

積分路は、偏角 <math>\theta = -\frac{\pi}{3}</math> の無限遠点から、偏角 <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math> の無限遠点までとする。

さらに、複素平面上の微分方程式

<math>\frac{d^2f(z)}{dz^2} - x\frac{df(z)}{dz} = 0</math>

を用いれば <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> を、複素平面上での 整関数 <math>Ai(z)</math> と <math>Bi(z)</math> に拡張できる。

<math>z^{\frac{2}{3}}</math> の主値を取り、 <math>z</math> が負の実軸上に無く有界であれば、 <math>Ai(z)</math>に関する漸近公式はそのまま成り立つ。

<math>Bi(z)</math> に関する漸近公式は適当な正の数 <math>\delta</math> を決めて得られる扇形領域

<math>D = \left\{z \in C \mid | \arg{z} | < \frac{1}{3} \pi - \delta\right\}</math>

の点 <math>z</math> に対して成り立つ。

<math>z</math> が扇形領域

<math>D = \left\{z \in C \mid | \arg{z} | < \frac{2}{3} \pi - \delta\right\}</math>

にあれば、<math>Ai(-z)</math> と <math>Bi(-z)</math> ともに、漸近公式が成り立つ。

エアリー関数の漸近的振る舞いより、 <math>Ai(z)</math> と <math>Bi(z)</math> はともに、負の実軸上に無限個の零点を持つことが分かる。 関数 <math>Ai(z)</math> は、複素平面上にこれ以外の零点を持たないが、 <math>Bi(z)</math> は、領域

<math>D = \left\{z \in C \mid \frac{\pi}{3} < | \arg{z} | < \frac{\pi}{2}\right\}</math>

に無限個の零点を持つ。

他の特殊関数との関係

引数が正（<math>x > 0</math>）の時、エアリー関数は修正ベッセル関数との間に次のような関係がある。

<math> \mathrm{Ai}(x) = \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), </math>
<math> \mathrm{Bi}(x) = \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)</math>

ここで、 <math>I_{\pm\frac{1}{3}}</math> と <math>K_{\frac{1}{3}}</math> は

<math>x^{2}\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} + x\frac{df(x)}{dx} - (x^{2} + \frac{1}{9})f(x) = 0</math>

の解である。

引数が負の時、エアリー関数はベッセル関数との間に次のような関係がある。

<math> \mathrm{Ai}(-x) = \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), </math>
<math> \mathrm{Bi}(-x) = \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). </math>

ここで、 <math>J_{\pm\frac{1}{3}}</math> は

<math>x^{2}\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} + x\frac{df(x)}{dx} - (x^{2} - \frac{1}{9})f(x) = 0</math>

の解である。

スカラーの関数は

<math>\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} - x\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{\pi}</math>

の解である。これらをエアリー関数を用いて表すと

<math> \mathrm{Gi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, </math>
<math> \mathrm{Hi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. </math>

となる。

歴史

エアリー関数は、イギリスの天文学者ジョージ・ビドル・エアリーによる光学の研究 (Airy 1838) で用いられた。 Ai(x) という表記はハロルド・ジェフリースによるものである。

外部リンク

参考文献

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