多角数

多角数（たかくすう、テンプレート:Lang-en-short）は、正多角形の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。多角形数ともいう。

例

例えば10個の点は

* ** *** ****

このように正三角形の形に並べることができるので10は三角数である。また16個の点は

**** **** **** ****

このように正方形の形に並べることができ、16は四角数（平方数）である。

三角数、四角数、六角数の例を以下に示す。

三角数

1		3		6		10
*		* **		* ** ***		* ** *** ****

四角数

1		4		9		16
*		** **		*** *** ***		**** **** **** ****

六角数

1		6		15		28
*		** * * **		*** ** * * * * ** * ***		**** *** * ** * * * * * * ** * * *** * ****

五角数以上では、点を回転対称には並べないことに注意。

一般化

0番目の多角数は全て、形式的に0とみなすことができる。

n番目のp角数を P_p,n とすると上の図から

<math>P_{p,n+1} - P_{p,n} = (p-2)n + 1\,</math>

となり、したがって P_p,n は等差数列の和

<math>\begin{align} P_{p,n} &= \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ (p-2)k+1 \right\}

\\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right] \\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2} \\ \end{align}</math> となる。

この式から、2番目のp角数はpであり、3番目のp角数は 3(p-1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」（p = 2）を考えると、

<math>P_{2,n} = n \,</math>

となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、（矩形に並べられることができないことから）素数である。

性質

• 任意の自然数は、p 個の p 角数の和で表せる。これを多角数定理という。
• 1番目の多角数は1、2番目の p 角数は p である。したがって、2以外の自然数はなんらかの多角数である。
• 3番目以降（3番目を含む）の多角数は、合成数である。
• n 番目の p 角数は、n が偶数で p が奇数のときに限り、n の倍数でない。
• n 番目の p 角数と n + 1 番目の p 角数の差は、(p - 2) n + 1 である。
• n 番目の p 角数と n 番目の p + 1 角数の差は、p によらず n だけで決まり、n - 1 番目の三角数に等しい。（次の表を縦に読むと等差数列になっている）

多角数表

名前	一般式	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
三角数	½(1n² + 1n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
四角数	½(2n² + 0n)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
五角数	½(3n² - 1n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
六角数	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
七角数	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
八角数	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
九角数	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
十角数	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
十一角数	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
十二角数	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
十三角数	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
十四角数	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
十五角数	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
十六角数	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
十七角数	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
十八角数	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
十九角数	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
二十角数	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
二十一角数	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
二十二角数	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
二十三角数	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
二十四角数	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
二十五角数	½(23n² - 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
二十六角数	½(24n² - 22n)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
二十七角数	½(25n² - 23n)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
二十八角数	½(26n² - 24n)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
二十九角数	½(27n² - 25n)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
三十角数	½(28n² - 26n)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

関連項目

• 中心つき多角数
• 図形数
• 正多角形

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• PolygonalNumbers virtuescience 多角数表ru:Последовательность двенадцатиугольника