正四面体
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正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。
最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。
なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。
性質
ファイル:TetraederCrossSection.png
正四面体のペトリー多角形
ファイル:Tetraeder animation with cube.gif
立方体の中の正四面体（アニメGIF）
- シュレーフリ記号は {3,3}。
- 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。
- 自らと双対である（自己双対多面体）。
- 対角線は存在しない。
- ペトリー多角形は正方形である。
- 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
- 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
- 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。
対称性
対称性は、
などである。
計量
辺の長さを <math>a\,</math> とする。
| 面の面積 | <math> A = {\sqrt{3}\over4} a^2 </math> | <math> \approx 0.433012702 a^2 </math> |
| 表面積 | <math> S = 4 A = \sqrt 3 a^2 </math> | <math> \approx 1.732050808 a^2 </math> |
| 高さ | <math> h = \sqrt \frac 2 3 a </math> | <math> \approx 0.816496581 a </math> |
| 体積 | <math> V = \frac 1 3 A h ={\sqrt{2}\over12}a^3 </math> | <math> \approx 0.117851130 a^3 </math> |
| 辺と面のなす角 | <math> \tan ^{-1} \sqrt 2 </math> | <math> \approx 54.735610 ^\circ </math> |
| 二面角 | <math> \cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8 </math> | <math> \approx 70.528779 ^\circ </math> |
| 中心と頂点を結ぶ直線のなす角 | <math> \frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3 </math> | <math> \approx 109.471221 ^\circ </math> |
| 頂点の立体角 | <math> 3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi </math> | <math> \approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr } </math> |
| 外接球（頂点を通る球）の半径 | <math> R = \sqrt \frac 3 8 a </math> | <math> \approx 0.612372436 a </math> |
| 内接球（面と接する球）の半径 | <math> r = {1\over3} R = {1\over\sqrt{24}} a </math> | <math> \approx 0.204124145 a </math> |
| 中接球（辺と接する球）の半径 | <math> r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = {1\over\sqrt{8}} a </math> | <math> \approx 0.353553391 a</math> |
| 傍接球の半径 | <math>r _ \mathrm E = {1\over\sqrt{6}} a </math> | <math> \approx 0.408248290 a </math> |
| 頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離 | <math> \sqrt \frac 3 2 a </math> | <math> \approx 1.224744871 a </math> |
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