虚数単位
虚数単位（きょすうたんい、imaginary unit）とは、−1 の平方根（2乗して −1 になる数）である2つの数のうちの1つのことである（どちらかを特定することはできない）。そのような数を記号で <math>i</math> または <math>\sqrt{-1}</math> で表す。
- <math>i^2 =-1</math>
虚数単位の記号 <math>i</math> は imaginary の頭文字から採られている。ただし、<math>i</math> を別の意味（電流など）の記号として使う場合は、虚数単位を <math>j</math> などで表すことがある（どの文字を用いるかは自由である。その場合にはどの文字を用いるかを初めに必ず宣言する）。
積の交換法則が成り立たないことを許容すると、異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系（非可換体）を考えることができる。3個の虚数単位の場合は <math>i,j,k</math>、7つ以上の虚数単位の組には <math>i_1 ,i_2 ,...</math> といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。
定義
虚数単位 i とは、2次方程式 x2 + 1 = 0 の2つの解のうちの一方のことであり、
- <math>i^2 =-1</math> あるいは <math>i=\sqrt{-1}</math>
とも表すことができる。解の一方を i とすれば、(x + i)(x − i) = 0 より、解の他方は −i である。
「実数の全体と虚数単位 i を含み四則演算が自由にできる（体になる）」集合のうち最小のものを複素数体、その元（要素）を複素数といい、特に実数でない複素数を虚数という。
同様に、「複素数の全体と、複素数でない新たな虚数単位 j を含む最小の体」を四元数体といい、その元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、k も虚数単位である。すなわち k2 = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −i を i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R3 の正規直交基底を一組選び、
- <math>f\, :\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)</math>
によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。ただし、基底を左手系に取ると ij = −k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。
つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。
行列表現
線型代数学（あるいは線型表現）の知識を用いると、虚数単位が行列で表される。実際、
- <math>J = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\ 1 & 0 \\
\end{pmatrix}</math> と定義される行列 J は、J2 = −E（E は 2 次単位行列）という性質を持つ。これは、虚数単位 i の左からの積が引き起こす複素数体 C の一次変換を、表現空間 C を2次元実ベクトル空間 R2 と見て行列表現することによって得られる。
四元数についても同様に、四元数体 H における積を C2 に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより テンプレート:Indent という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。また、C2 と見なすのでなく R4 と見なせば、4 次の正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。
行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数では（結合法則を満たさないため）このような表示はできない。
