十六元数

抽象代数学における十六元数（じゅうろくげんすう、sedenion）は、全体として実数体 R 上 16 次元の（双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での）非結合的分配多元環を成す代数的な対象で、その全体はしばしば S で表される。八元数にケーリー＝ディクソンの構成法を使って得られる対合的二次代数である。

「十六元数」という用語は、他の十六次元代数構造、例えば四元数の複製二つのテンソル積や実数体上の四次正方行列環などに対しても用いられ、テンプレート:Harvtxt で調べられている。

ケーリー・ディクソンの十六元数

算術

ケーリーの八元数と同様に十六元数の乗法は可換でも結合的でもない。そして、ケーリーの八元数環 O と明確に違うことに、十六元数の全体 S は交代代数 (alternative algebra) にもならない。十六元数についていえることは冪結合性を持っているということである。これは S の元 x に対して、冪 xⁿ は矛盾なく定義可能で、それらが柔軟 (flexible) であることを意味する。

任意の十六元数は、S のベクトル空間としての基底の基底となる単位十六元数 1, e₁, e₂, e₃, …, e₁₅ の実係数線型結合になっている。

十六元数は乗法に関する単位元および逆元を持つが多元体とはならない。これは零因子の存在による。つまり、それ自体は零ではないが掛けると零になるなるような十六元数の組があるのだが、簡単な例としては(e₃ + e₁₀)×(e₆ − e₁₅) などを挙げることができる。十六元数からケーリー＝ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。

単位十六元数の乗積表は次のようなものである。

基底の乗積表

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15</td>
e1	e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6	e9	−e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14
e2	e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5	e10	e11	−e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13
e3	e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4	e11	−e10	e9	−e8	−e15	e14	−e13	e12
e4	e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	−e8	−e9	−e10	−e11
e5	e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2	e13	−e12	e15	−e14	e9	−e8	e11	−e10
e6	e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	−e8	e9
e7	e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	−e8
e8	e8	−e9	−e10	−e11	−e12	−e13	−e14	−e15	−1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14	−e1	−1	−e3	e2	−e5	e4	e7	−e6
e10	e10	e11	e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13	−e2	e3	−1	−e1	−e6	−e7	e4	e5
e11	e11	−e10	e9	e8	−e15	e14	−e13	e12	−e3	−e2	e1	−1	−e7	e6	−e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	−e9	−e10	−e11	−e4	e5	e6	e7	−1	−e1	−e2	−e3
e13	e13	−e12	e15	−e14	e9	e8	e11	−e10	−e5	−e4	e7	−e6	e1	−1	e3	−e2
e14	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	e8	e9	−e6	−e7	−e4	e5	e2	−e3	−1	e1
e15	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	e8	−e7	e6	−e5	−e4	e3	e2	−e1	−1

一般の十六元数の積は基底における乗法を（分配法則が成り立つように）線型に拡張することで得られる。

十六元数の全体 S は共軛元をとる主対合

<math>x = x_0 1 + \sum_{i=1}^{15} x_i e_i \mapsto x^* := x_0 1 - \sum_{i=1}^{15} x_i e_i</math>

によってノルム

<math>N(x) = ||x|| := \sqrt{xx^*} = \sum_{i=0}^{15} x_i^2</math>

の定まる二次代数 (S, N) であるが、このノルム N は必ずしも乗法的（N(xy) = N(x)N(y)）とはならない。

応用

テンプレート:Harvtxt は十六元数のノルムが 1 の零因子の全体が、コンパクト型の例外型リー群 G₂ に同型であることを示した。

関連項目

• 超複素数系
• 分解型複素数

参考文献

• テンプレート:Citation
• Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20. [1]
• Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
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