多元環

数学において、多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキでは（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。

双対概念である余代数（双対多元環）も参照。

代数学

環論あるいは線型代数学において：

一般的なクラス:

• 環上の多元環: 双線型な乗法を持つ加群
• 体上の多元環: 双線型な乗法を持つベクトル空間（体上の加群）

あるいは

• 結合多元環: 双線型な乗法が結合的であるような多元環。
• 分配多元環（非結合多元環）: 双線型な乗法が結合的であることを特に仮定しない多元環。

特定のクラス:

• 超代数: Z/2Z-次数付き多元環
• リー環（リー代数）
• ポアソン代数
• ジョルダン環（ジョルダン代数）

解析学

函数解析学において:

• バナッハ環（バナッハ代数）: 結合多元環を成すバナッハ空間
• 作用素環（作用素代数）: 位相線型空間上の連続線型作用素が写像の合成に関して成す多元環
• *-環（星型環、*-代数）: しばしば随伴によって与えられる対合の概念を伴う多元環。
  • C*-環（C*-代数）: 対合を伴うバナッハ環
  • フォンノイマン環（フォンノイマン代数、W*-環）

集合と論理

実際にはここで言う多元環と意味がやや異なるが、論理演算や集合と集合算、束などを一般化するものとして「代数」の名を冠する概念がいくつか存在する。

数理論理学において:

• ブール代数（ブール環）
• ハイティング代数

測度論において:

• 集合代数（集合体、有限加法族）: 有限和と補演算について閉じている集合族
• σ-代数（σ-集合代数、σ集合体、完全加法族）: 可算和と補演算について閉じている集合族

圏論

より一般化された意味での「代数」の概念が圏論（あるいは理論計算機科学）で用いられる:

• F代数/F余代数