常微分方程式

数学において常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、ordinary differential equation, O.D.E.）とは、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 テンプレート:Mvar の未知関数 テンプレート:Math に対して、（既知の）関数 テンプレート:Mvar を用いて

<math> F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t))=0 \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n.\right)</math>

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。テンプレート:Math は未知関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

<math>\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)) = \boldsymbol{0} \quad

\left(\boldsymbol{x}^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\boldsymbol{x}(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n.\right)</math> ここで テンプレート:Mvar は

<math>\begin{align}

&\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)) =\left(F_1(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)),\dots,F_r(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t))\right)\\ &\boldsymbol{x}(t)=\left(x_1(t),\dots,x_m(t)\right) \end{align}</math> を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの テンプレート:Mvar 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

<math> x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n-1)}(t)) \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n.\right).</math>

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

線型常微分方程式

テンプレート:See also 常微分方程式が

<math>\frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0(t)x = b(t)</math>

の形に表されるとき線型であるという。ただし、テンプレート:Math および テンプレート:Math はテンプレート:Mvar を変数とする既知の関数である。テンプレート:Math の方程式は特に斉次 (テンプレート:En) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (テンプレート:En) な方程式と呼ばれる。

非線型常微分方程式

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている 。 以下に例を挙げておく 。

1階非線型常微分方程式

<math>y=x\frac{\;dy\;}{dx}+x^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).</math>

<math>y=x\frac{\;dy\;}{dx}+y^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).</math>

ここに、テンプレート:Mvar は実数であり、テンプレート:Math は既知関数である。

2階非線型常微分方程式

<math>y=x\frac{\,dy\,}{dx}+P(x)\!\left(\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}\right)^{\!\! n}.</math>

<math>y=x\frac{\,dy\,}{dx}+f\!\!\,\left(\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}\right).</math>

上記の テンプレート:Math と テンプレート:Math は既知関数とする。

連立常微分方程式

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 テンプレート:Mvar と複数の未知関数 テンプレート:Math およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、テンプレート:Mvar の 2 つの未知関数を テンプレート:Math とする。それらの一階の導関数を テンプレート:Math として、

<math>F\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0,</math>

<math>G\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0</math>

は一つの連立常微分方程式である。ただし、テンプレート:Mvar は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と テンプレート:Mvar 個の未知関数およびその テンプレート:Mvar 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

<math>F_{k}\left(t;x_1,\dots,x_m;x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_m;\dots;x^{(n)}_1,\dots,x^{(n)}_m\right)=0, \qquad k=1,2,\dots,r.</math>

ここで テンプレート:Math は、未知関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 階の導関数である (テンプレート:Math)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（テンプレート:En）と呼ぶこともある。 これら テンプレート:Mvar 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 テンプレート:Math をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 テンプレート:Mvar の未知関数を テンプレート:Mvar とし、テンプレート:Mvar を定数とすると、

<math>\frac{\,dy\,}{dx}=az+b,</math>

<math>\frac{dz}{\,dx\,}=cy+d</math>

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。 一例を挙げておく。

<math>\begin{cases}

\; \, \displaystyle F \! \left(y, \; \; \frac{\,dz\,}{dx}\right)=0,\\[3ex] \; \, \displaystyle G \! \left(z, \; \; \frac{\,dw\,}{dx}\right)=0,\\[3ex] \; \, \displaystyle H \! \left(w, \; \; \frac{\,dy\,}{dx}\cdot\left(\frac{\,dw\,}{dx}\right)^{\!\! -1}\;\right)=0. \end{cases}</math> テンプレート:Mvar は独立変数であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を変数とする未知関数である。また、テンプレート:Mvar を既知関数とする。

関連項目

• フックス型微分方程式
• ガウスの微分方程式
• ベッセル関数
• ルジャンドルの微分方程式
• NAG数値計算ライブラリ
• 微分方程式
• 偏微分方程式
• 複雑系