ガウスの微分方程式

ガウスの微分方程式（-びぶんほうていしき）あるいは超幾何微分方程式（ちょうきかびぶんほうていしき）とはガウスにその名をちなむ、以下の形をした常微分方程式である。

ここで α, β, γ は複素定数である。

性質

この微分方程式は <math>\displaystyle x=0,1,\infty</math> において確定特異点を持ち、 それ以外に特異点を持たない。 また各特異点での解はガウスの超幾何関数 <math>\displaystyle F(\alpha,\beta,\gamma ; x) </math> を使って以下の様に表せる事が知られている。

• x = 0 での解
  • <math>\displaystyle y_{1,0}(x) = F( \alpha, \beta, \gamma ; x)</math>
  • <math>\displaystyle y_{2,0}(x) = x^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1,\beta-\gamma+1,2-\gamma ;x)</math>
• x = 1 での解
  • <math>\displaystyle y_{1,1}(x) = F(\alpha,\beta,\alpha+\beta-\gamma+1 ; 1-x)</math>
  • <math>\displaystyle y_{2,1}(x) = (1-x)^{\gamma-\alpha-\beta}F(\gamma-\alpha,\gamma-\beta,\gamma-\alpha-\beta+1 ; 1-x)</math>
• x = ∞ での解
  • <math>\displaystyle y_{1,\infty}(x) = x^{-\alpha}F(\alpha,\alpha+1-\gamma,\alpha-\beta+1 ; 1/x )</math>
  • <math>\displaystyle y_{2,\infty}(x) = x^{-\beta}F(\beta,\beta+1-\gamma,\beta-\alpha+1 ; 1/x )</math>

関連項目

• ルジャンドルの微分方程式テンプレート:Math-stub