アーベル群

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、テンプレート:Lang-en-short）または可換群（かかんぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは、定義される乗法が可換な群のことである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。しばしば、演算は "+" を用いて加法的に記されて加法群（かほうぐん、テンプレート:Lang-en-short）ともよばれる。また、加群（かぐん、テンプレート:Lang-en-short）とも呼ばれることがあるがこの場合、別の代数系からの作用とともに考えていることが多い（環上の加群、群上の加群など）。

定義

集合 G に二項演算（"*" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件

1. 結合法則: <math>a * (b * c) = (a * b) * c</math>.
2. 単位元の存在:<math>\exists1;\ a * 1 = 1 * a = a</math>.
3. 逆元の存在: <math>\forall a, \exists a^{-1};\ a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1</math>.
4. 交換法則: <math>a * b = b * a</math>.

（ただし、a, b, c は G の任意の元）を全て満たすとき、G と演算 "*" の組 (G, *) をアーベル群という。考えている演算があきらかなときは省略して単に G をアーベル群と呼ぶ。

アーベル群ではしばしば演算子を "+" と記す。このとき単位元を零元と呼んで 0 などで表し、逆元も −a のように負符号を用いて表してマイナス元あるいは反数とよぶ。また、a + (−b) は a − b と書かれ、a から b を引くという減法が定義される。このような記法を加法的な記法と呼び、対して先に述べたような通常の群でよく使われる記法を乗法的な記法ということがある。アーベル群の定義を加法的に記せば

1. 結合法則: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>.
2. 零元の存在: <math>\exists 0;\ a + 0 = 0 + a = a</math>.
3. マイナス元の存在: <math>\forall a, \exists -a;\ a + (-a) = (-a) + a = 0</math>.
4. 交換法則: <math>a + b = b + a</math>.

のようになる。以降ではアーベル群を主に加法的に記す。

例

• 整数の全体 Z、有理数の全体 Q、実数の全体 R、複素数の全体 C は全て通常の加法に関してアーベル群である。一方 自然数の全体 N は加法（の逆演算としての減法）に関して閉じていないのでアーベル群ではない。
• 乗法に関し、有理数全体の集合 Q は 0 の逆元が無いので群にならないが、Q から 0 を除いた集合（これを慣習的に Q^* と書く）で乗法を考えたものは群になり（乗法群と言われる）、これもアーベル群の例である。同様に、0 以外の実数全体 R^* や 0 以外の複素数全体 C^* も乗法に関してアーベル群となる。また例えば 0 以外の整数の全体 Z^* は乗法に関して群にはならないが、その部分集合 {±1} は乗法に関するアーベル群である。
• 楕円曲線 y² = x³ + ax + b の解集合には、加法を定義することができ、アーベル群になる。

アーベル群の準同型

2 つのアーベル群 (M, +), (N, +') を考える。M から N への写像 ρ: M → N が任意の x, y ∈ M について

ρ(x + y) = ρ(x) +' ρ(y)

をみたすとき、ρ は (M, +) から (N, +') へのアーベル群の準同型であるといい、さらに全単射ならばアーベル群の同型であるという。これは単に群としての準同型 (テンプレート:Lang-en-short) とまったく同じ概念である。M から N へのアーベル群の準同型全体の成す集合を Hom(M,N) などと記す。このとき、

<math>\mbox{Hom}(M,N):=\{\phi\colon M\to N\mid \phi\colon \mbox{homom.}\}</math>

には、φ, ψ ∈ Hom(M, N) に対して

<math>(\phi+\psi)(x) := \phi(x) + \psi(x) \quad (x \in M)</math>

として和 φ + ψ をさだめる（これを「N における和が Hom(M,N) に加法を誘導する」などという）ことができて、この加法に関して Hom(M, N) はまたアーベル群となる。さらに、アーベル群 M の自己準同型の全体

<math>\mbox{End}(M):= \mbox{Hom}(M,M)</math>

には M における和が導く加法が定まり、さらに写像の合成

<math>(\phi\circ\psi)(x) := \phi(\psi(x))\quad

 (\phi, \psi \in \mbox{End}(M), x \in M)

</math> を積として環をなす。これを M 上の自己準同型環という。

性質

自明な性質

一般の群においていくつかの条件によって規定されるような概念の中には、それがアーベル群においては特に何の制約も課さないこと（数学の文脈ではこれを自明な条件などと通常は言い表す）と等価になるようなものが見られる。例えば

• アーベル群の任意の部分群は正規部分群である。
• 任意のアーベル群は可解である。

などが挙げられる。

有限生成アーベル群の基本定理

有限生成なアーベル群は、そうでない群と比べて著しく単純な構造を持つ：

アーベル群 G が有限生成であれば、G は無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / m₁Z, ..., Z / m_tZ の直積

<math>\mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}</math>

に同型で、n や m₁, ..., m_t は入れ替えを除いて一意的である（アーベル群 G の不変系と呼ばれる）。

少し形を変えて、G を次のように書くことも出来る；

<math>\mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_u\mathbb{Z}</math>

ここで、d₁ | d₂ | ... | d_u であり、d₁,..., d_u は一意的に決まる。

有限生成アーベル群は有限の階数として、上の n を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。

この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。

もう少し一般化して、単項イデアル整域上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。

関連項目

• 群論