ゴールドバッハの予想

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ファイル:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 50 rev4b.svg
4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあわらした図。ゴルドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。
弱いゴルドバッハ予想も参照。
ファイル:GoldbachConjecture.gif
偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。

数学において、ゴールドバッハの予想は、加法的整数論の未解決問題の一つである。

全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる[1]。

ウェアリングの問題などと共に古くから知られている。この予想は、4 × 1018 まで成立することが証明[2]されていて、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。

概要

ファイル:Letter Goldbaxh-Euler.jpg
1742年6月7日の日付のゴルドバッハからオイラーに宛てた（ラテン語とドイツ語で書かれた）手紙[3]

予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：

4以上の全ての偶数は、二つの素数の和で表すことができる。
6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。（4=2+2:偶素数同士の和）

このとき、同じ素数を2度使っても良いものとする。

例えば、20までの偶数を奇素数の和で表す場合は、 

 6 = 3 + 3
 8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13

のように、二つの奇素数の和で表せている。この予想は、2012年現在、4×1018までの全ての偶数について成り立つことが、コンピュータによって確かめられている。[4]

ゴールドバッハの名を冠する由来は、上と同値な次のような予想を、クリスティアン・ゴールドバッハ（Christian Goldbach, 1690年 - 1764年）がレオンハルト・オイラーへの書簡（1742年）で述べたことによる[5]。

5より大きな任意の自然数は、三つの素数の和で表せる。

これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。

多くの数学者は、素数分布の確率に関する統計学的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。

類似の予想として、「弱いゴールドバッハ予想」というものがある。これは5より大きい奇数は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは

<math>2n = p_1+p_2 \quad n>2</math>

ならば

<math>2(n+1)+1 = p_1+p_2+3 \quad n>2 \,</math>

であることから明らかである。ここでp1およびp2は奇素数である。

また、一般化されたリーマン予想が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている[6]。

現在までの主な進歩

  • ノルウェーの数学者ヴィッゴ・ブルンは1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法（sieve method）を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
  • ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
  • 1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
  • 1937年にソビエトの数学者イヴァン・ヴィノグラードフは三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 （現在、具体的にわかっている。<math>n_0=3^{3^{15}}</math>（Borozdin,1939）さらに良い評価として<math>n_0\approx 2 \times 10^{1346}</math>（Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（ヴィノグラードフの定理参照）
  • 1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
  • 1947年、ハンガリーの数学者アルフレード・レーニは大きな篩い（large sieve）という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明した。
  • 中国の数学者陳景潤（Jing-Run Chen）は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。このときの下界は具体的にわかっていない。
  • 1995年、フランスの数学者オリヴィエ・ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
  • 2002年、Heath-BrownとPuchtaは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
  • 2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト(BOINC)でGoldbach's Conjecture Projectが開始された。

発見的方法による評価

ファイル:Goldbach-1000.svg
4 ≤ n ≤ 1,000 である偶数 n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数, テンプレート:OEIS
ファイル:Goldbach-1000000.png
4 ≤ n ≤ 1,000,000 である偶数の n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数

素数の確率分布に焦点を当てた統計的な考察は、十分に大きな整数に対して（弱い形も強い形も両方とも）この予想を支持する非公式な情報をもたらしている。整数が大きくなればなるほど、2つ 3つの他の数の和で表すことが可能な組み合わせの数が多くなり、これらの表現が素数だけで和を表すことすくなくとも一つはより「ありそう」になっている。

テンプレート:仮リンク(heuristic)な確率的な議論（ゴルドバッハ予想の強い形にたいする）の非常に厳密なバージョンは、次のようになっている。素数定理は、ランダムに選ばれた整数 m は、大まかには <math>1/\ln m\,\!</math> の確率で素数になる機会を持っている。従って n が大きな偶数であり m が 3 と n/2 の間の整数であれば、m と n − m が同時に素数である確率は、<math>1 \big / \big [\ln m \,\ln (n-m)\big ]</math> である。この発見的方法をつづけると、大きな偶数の n を大まかに次の確率で 2つの素数の和として表すことができる方法の全体の数を見積もることができる。

<math>\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.</math>

この量は n が増えるにつれて無限大に近づくので、大きな偶数を取ると 2つの素数の和として表すのでなく、実際は非常多くのそのような方法で表すことができることと見積もることができる。

この発見的な議論は実際は少し不正確である。理由は、m と n − m が素数であるという事象が、互いに統計的に独立である(statistically independent)あることを前提としているからである。例えば、m が奇数であれば、n − m もまた奇数であり、m が偶数であれば n − m もなた偶数であるから、（2を除き）奇数だけが素数でありうるから非自明な関係となるからである。同様にして、n が 3 で割り切れ m が既に 3 とはことなる素数であれば、n − m は 3 とは互に素であることとなり、このように一般の数よりも素数となる確率は少し小さくなる。このタイプの解析を注意深く行い、ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)は、1923年に（彼らの有名なハーディ・リトルウッドの素数三重予想の一部として）任意の固定された c ≥ 2 に対し、大きな n が <math>p_1 \leq \cdots \leq p_c</math> である c 個の素数の和 <math>n=p_1+\cdots +p_c</math> と表される表し方の数は、テンプレート:仮リンク(asymptotically)に次に等しいであろうと予想した。

<math> \left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right)

\int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1+\cdots+x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c}</math>

ここに、積は全ての素数 p を渡り、<math>\gamma_{c,p}(n)</math> は合同式の方程式 <math>n = q_1 + \cdots + q_c \mod p</math> の解の数である。ここで、<math>q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p</math> はテンプレート:仮リンク(constraint)である。この公式は、テンプレート:仮リンク(Ivan Matveevich Vinogradov)の仕事から、c ≥ 3 に対して漸近的に成り立つことが厳密に証明された。しかし、 <math>c=2</math> のときは依然として予想にすぎない。<math>c=2</math> には、上の公式は n が奇数のときは 0 に単純化され、n 偶数のときは、

<math> 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x}

\approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \frac{n}{\ln^2 n} </math>

となる。ここに <math>\Pi_2</math> はテンプレート:仮リンク(twin prime constant)であり、

<math> \Pi_2 := \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots</math>

と表される。この公式は拡張されたゴルドバッハ予想として知られている。強いゴルドバッハ予想は、実際、双子素数予想と非常に似ていて、2つの予想は大まかには同じくらいの難易度であろうと信じられている。2013年、プロヴァティディス他は、「親指の法則」という表現の数の下界についてレポートした。[7]

ここに示されたゴルドバッハの分配函数は、上の方程式を見やすく表現したヒストグラムにして示すことができる。テンプレート:仮リンク(Goldbach's comet)を参照。[8]

厳密な結果

強いゴルドバッハ予想は、より非常に難しい。テンプレート:仮リンク(Vinogradov)の方法を使い、テンプレート:仮リンク(Chudakov)[9] や、テンプレート:仮リンク(Van der Corput)[10] や テンプレート:仮リンク(Estermann)[11] は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した（この意味は、そのようにかくことのできる偶数の確率が 1 に近づく傾向にあるという意味である)。1930年、テンプレート:仮リンク(Lev Schnirelmann)は[12][13]で、任意の 1 より大きな自然数は C 個よりも多くない素数の和として書き表すことができることを証明した。ここに C は有効に計算可能な定数である。シュニレルマン密度を参照。シュニレルマンの定数(Schnirelmann's constant)は、この性質を持つ最も小さな数であり、シュニレルマン自身は C < 800000 を得た。この結果は多くの人々により拡張されている。現在、最も良い結果として知られているものは、テンプレート:仮リンク(Olivier Ramaré)によるもので、1995年に全ての偶数 n  ≥ 4 は実際、多くとも 6つの素数の和であることが知られている。事実、弱いゴルドバッハ予想の解法は、直接、全ての偶数 n  ≥ 4 が多くとも 4つの素数の和であることを意味する。[14]

テンプレート:仮リンク(Chen Jingrun)は、1973年に篩法を使い、全ての十分に大きな偶数は 2つの素数の和として書き表されるか、もしくは一つの素数と半素数(semiprime)（2つの素数の積）の和として書き表すことができることを示した。[15]例を上げると、100 = 23 + 7·11　テンプレート:仮リンクを参照。

1975年、テンプレート:仮リンク(Hugh Montgomery)とテンプレート:仮リンク(Robert Charles Vaughan)は、「ほとんど」全ての偶数は 2つの素数の和として表すことができることを示した。詳しくは、正の数 c と C が存在して、全ての十分に大きな数 N に対して、N よりも小さな数は 2つの素数の和であることを、彼らは示した。この例外は、多くとも <math>C N^{1-c}</math> である。特に、2つの素数の和であらわされない偶数の集合はテンプレート:仮リンクゼロである。

テンプレート:仮リンク(Yuri Linnik)は、1951年、全ての十分に大きな偶数が 2つの素数の和であり、大きくとも 2 の K 乗であるような K が存在することを証明した。テンプレート:仮リンク(Roger Heath-Brown)とテンプレート:仮リンク(Jan-Christoph Schlage-Puchta)は、2002年に、K = 13 であることを発見した。[16] このことは、2003年にテンプレート:仮リンク(János Pintz)とテンプレート:仮リンク(Imre Z. Ruzsa)により K=8 と改善された。[17]

数学の多くの有名な予想と同じように、ゴールドバッハ予想を解いたと主張する多くの「証明」があるが、数学の学会では受け入れられていない。

弱いゴルドバッハ予想について考慮すべき仕事として、2013年にテンプレート:仮リンク(Harald Helfgott)により提出されている論文がある[18][19][20][21]。この論文は、全ての 7 より大きな奇素数に対して予想を完全に証明したとする論文である（前の結果は <math>e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}</math> よりも大きな数に対しては証明されたとしていたものである）。

類似した問題

素数を、例えば二乗数のような、他の特別な数の集合に置き換えると同じような問題を提示することができる。

脚注

テンプレート:Reflist

関連項目

参考文献

テンプレート:参照方法

外部リンク

テンプレート:Link GA
  1. ↑ テンプレート:MathWorld
  2. ↑ “Goldbach conjecture verification"
  3. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125–129
  4. ↑ Tomás Oliveira e Silva, Goldbach conjecture verification
  5. ↑ テンプレート:Citation
  6. ↑ テンプレート:Citation
  7. ↑ Provatidis C., Markakis E, and Markakis N. Rule of thumb bounds in Goldbach’s Conjecture, American Journal of Mathematical Analysis, 2013 1 (1), pp. 8-13. doi: 10.12691/ajma-1-1-1; DOWNLOAD: http://www.sciepub.com/portal/downloads?doi=10.12691/ajma-1-1-2&filename=ajma-1-1-2.pdf.
  8. ↑ Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1–7, 1989.
  9. ↑ テンプレート:Cite journal
  10. ↑ テンプレート:Cite journal
  11. ↑ テンプレート:Cite journal
  12. ↑ Schnirelmann, L.G. (1930). "On the additive properties of numbers", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol XIV (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.
  13. ↑ Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "Über additive Eigenschaften von Zahlen" in "Mathematische Annalen" (in German), vol 107 (1933), 649-690, and reprinted as "On the additive properties of numbers" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.
  14. ↑ テンプレート:Cite journal
  15. ↑ テンプレート:Cite journal
  16. ↑ テンプレート:Cite journal
  17. ↑ テンプレート:Cite journal
  18. ↑ テンプレート:Cite arXiv
  19. ↑ テンプレート:Cite arXiv
  20. ↑ http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved
  21. ↑ Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013. New Scientist. Retrieved on 2014-05-11.
  22. ↑ ある正の数 n が、n より小さな数は全て異なる因子の和で表される数をいう。例えば、11 以下の正の整数は、5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, 11=6+3+2 であるので、プラクティカル数は、1, 2, 3, 4, 6 である。プラクティカル数の列は、
    1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
    となる。
  23. ↑ テンプレート:Cite journal
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