ウェアリングの問題
ウェアリングの問題（Waring's problem）は、全ての自然数 k ≥ 2 に対して、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」という性質を満たす整数 s が存在するかという問題である。この問題は1770年にエドワード・ウェアリング(Edward Waring)によって提唱された。1909年、ダヴィッド・ヒルベルトがこの問題を肯定的に解決した[1]。その後、各 k に対して整数 s の最小値 g(k) を与える公式が発見されている。現在、単にウェアリングの問題と言えば、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」を満足する s の最小値を評価・決定する問題を指すことが多い。（例を挙げると、全ての自然数は、4個の二乗数で表される、9個の 3乗数で表される、19個の 4乗数で表される、、、、）ウェアリングの問題は、数学問題の分類の、11P05、「ウェアリング問題とその変形」を持っている。
目次
ラグランジェの四平方定理との関係
ウェアリングが問題を提示するはるか以前に、ディオファントス(Diophantus)は、全ての自然数はゼロよりも大きい数の二乗の四つの和として表すことができるかと問うた（四平方定理を参照）。この問題は、1621年に、テンプレート:仮リンク(Claude Gaspard Bachet de Méziriac)によるディオファントスの翻訳が出版されると、バチェットの予想として知られるようになり、ルイ・ラグランジュ(Joseph-Louis Lagrange)により、ウェアリングの予想の提出された同じ年の1770年に四平方定理として解かれた。ウェアリングは、正の整数が立方数の和として表現できるか、正数が 4乗数の和として表すことができるか等々と、この問題の一般化して考え、全ての正の整数は特定の指数のべきをとった整数の和として表すことができるのではないか、さらに、このような方法で全ての正の整数を、ある指数の和として表すことがいつでもできる個数が存在するのではないかと予想した。[2]
g(k)の値
全ての k に対して、g(k) で全ての整数を表すことに必要な s 個の自然数の k 乗ベキの最小の s の値とする。g(1) = 1 であることに注意する。簡単な計算により、7 は 4 個の平方数、23 は 9 個の立方数、79 は 19 個の 4 乗数で表すことがわかるので、これらの例から g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, g(4) ≥ 19 であることがわかる。ウェアリングはこれらの値が実際は全ての自然数に対して表すことが可能ではないかと予想した。
1770年のラグランジュの四平方定理は、全ての自然数は多くとも 4 個の平方数の和であることを言っていて、3 個の平方数では十分ではないので、この定理は g(2) = 4 であることを意味している。ラグランジュの四平方定理は、クロード・バチェットの1621年のディオファントゥスのテンプレート:仮リンク(Arithmetica)の編集で述べられている。フェルマー(Pierre de Fermat)は証明したと主張したが、著書としていない。[3]
年月を経て、ますます複雑な技術を使い、様々な境界が判明してきた。例えば、リウヴィルは g(4) は大きくとも 53 であることを示した。ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)は、十分に大きな自然数に対して、多くとも 19 個の 4 乗数の和で表されることを示した。
g(3) = 9 であることは1909年から1912にかけて、テンプレート:仮リンク(Arthur Wieferich)[4] とテンプレート:仮リンク(A. J. Kempner)[5]により確立された。1986年には、g(4) = 19 がテンプレート:仮リンク(R. Balasubramanian)、ドレス(F. Dress)とテンプレート:仮リンク(J.-M. Deshouillers)により確立した[6][7]。1964年には、g(5) = 37 が陳景潤(Chen Jingrun)により、g(6) = 73 は1940年にテンプレート:仮リンク(Pillai)により確立された[8]。
[x] と {x} でそれぞれ x の整数部分と分数部分を表すとする。2k[(3/2)k]-1<3k であるので、2k と 1k だけが、この数を表すことに使うことができ、もっとも効果的(economical)な表現は [(3/2)k]-1 個の 2k と 2k-1 個の1k の和であるから、このことより g(k) は少なくとも 2k + [(3/2)k] − 2 よりも大きい。有名なレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)の息子であるJ. A. オイラーは、1772年頃に、実際、g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2 であることを予想した[9]。後日、テンプレート:仮リンク(Dickson)、ピライ、テンプレート:仮リンク(R. K. Rubugunday)、テンプレート:仮リンク(Ivan M. Niven)[10] や他の人たちにより、以下のことが示された。
- <math>2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k]\le2^k</math> のとき、
- <math>g(k) = 2k + [(3/2)^k] - 2</math>
- <math>2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k] > 2^k</math> かつ <math>[(4/3)^k][(3/2)^k] + [(4/3)^k] + [(3/2)^k] = 2^k</math> のとき、
- <math>g(k) = 2^k + [(3/2)^k] + [(4/3)^k] -2</math>
- <math>2^k\{(3/2)^k\} + [(3/2)^k] > 2^k</math> かつ <math>[(4/3)^k][(3/2)^k] + [(4/3)^k] + [(3/2)^k] > 2^k</math> のとき、
- <math>g(k) = 2^k + [(3/2)^k] + [(4/3)^k] -3</math>
2k{(3/2)k} + [(3/2)k] > 2k となるような k の値はしられていない。テンプレート:仮リンク(Kurt Mahler)はそのような k が存在しても有限個しかないことを証明し[11]、クビナ(Kubina)とウンダーリッビ(Wunderlich)は、そのような k は k > 471,600,000 とならねばならないことを示した[12]。この結果から考えて、第一の場合しか発生しないのではないか、すなわち、正の整数の k に対し、<math>g(k) = 2^k + [(3/2)^k] -2</math> となるのではないかと予想されている。
g(k) の最初のいくつかを列挙すると、
- 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055 ... テンプレート:OEIS.
G(k)の値
| 境界 |
|---|
| 4 = G(2) = 4 |
| 4 ≤ G(3) ≤ 7 |
| 16 ≤ G(4) ≤ 16 |
| 6 ≤ G(5) ≤ 17 |
| 9 ≤ G(6) ≤ 24 |
| 8 ≤ G(7) ≤ 33 |
| 32 ≤ G(8) ≤ 42 |
| 13 ≤ G(9) ≤ 50 |
| 12 ≤ G(10) ≤ 59 |
| 12 ≤ G(11) ≤ 67 |
| 16 ≤ G(12) ≤ 76 |
| 14 ≤ G(13) ≤ 84 |
| 15 ≤ G(14) ≤ 92 |
| 16 ≤ G(15) ≤ 100 |
| 64 ≤ G(16) ≤ 109 |
| 18 ≤ G(17) ≤ 117 |
| 27 ≤ G(18) ≤ 125 |
| 20 ≤ G(19) ≤ 134 |
| 25 ≤ G(20) ≤ 142 |
ハーディ(G. H. Hardy)とリトルウッド(John Edensor Littlewood)の仕事から、関連している数値 G(k) は g(k) よりも基本的な値であることがわかる。G(k) は、全てのテンプレート:仮リンク(sufficiently large)を（つまり、ある定数よりも大きな全ての整数を）、正の整数の k 乗の多くとも s 個の和で表すことができるような、最も小さな整数 s の値として定義される。平方数は 0, 1, or 4 (mod 8) に合同であるので、7 (mod 8) に合同な整数は 3 個の平方数の和として表すことができない。このことは、G(2) ≥ 4 を意味する。全ての k に対して G(k) ≤ g(k) であるので、このことは G(2) = 4 を意味する。テンプレート:仮リンク(Harold Davenport)は、1929年、G(4) = 16 であることを、1 から 14 mod 16 に合同な十分大きな数は 4 乗数の 14 個の和として表すことができることを示すことで、証明した。（ヴォーン(Vaughan)は、1985年から1989年の間に 14 個をさらに進めて 13 個、12 個とできることを示した。[13]）他の k に対して、G(k) の正確な値は、境界のあることは知られているが、分かっていない。
G(k) の値の下界
G(k) の値は、次の値に等しいかまたは大きい。
- r ≥ 2 で k = 2r または、k = 3×2r のとき、2r + 2
- p が 2 よりも大きい素数で、k = pr(p − 1) のとき、pr + 1
- p が 2 よりも大きい素数で、k = pr(p − 1)/2 のとき、(pr + 1 − 1)/2
- 1 よりも大きな全ての整数 k に対して、k + 1
合同関係の制限がない場合は、密度の議論により G(k) が k + 1 に等しくなることを示唆している。
G(k) の値の上界
G(3) はすくなくとも 4 である（理由は 3 乗数は 0, 1 もしくは −1 mod 9 であるから)。1.3テンプレート:E よりも小さな数に対し 1290740 は 6 個の 3 乗数を求め、G(3)=4 であることを認めるに十分な速度で N を増加させることで、5 個の 3 乗数を要求する N と 2N の間の数の個数を減らすことができる[14]。4 個の 3 乗数の和で表すことのできない知られている最も大きな数は 7373170279850 であり[15]、著者たちはこれが最も大きな数であるのではないかというのが妥当であろうとの議論をしている。G(3) の上界 G(3) ≤ 7 はユーリ・リンニク(Yuri Vladimirovich Linnik)による[16][17]。
13792 が 17 個の 4 乗数を要求する最も大きな数である。（デショワラー(Deshouillers)、へネカール(Hennecart)、ランドルー(Landreau)は2000年に次のこと示した[18]。全ての 13793 と 10245 の間の数は多くとも 16 個の和を要求し、カワダ(Kawada)、ウーレイ(Wooley)、デショワラー(Deshouillers)はダベンポートの1939年の結果を拡張し、10220 以上の数はもはや 16 個以上の和を要求しないことを示した。）16 個の 4 乗数の和はいつも 31·16n の形の数に書くことを要求される。
617597724 が 15 個の個数を要求する 1.3テンプレート:E よりも小さい最大の数であり、51033617 が 11 個の個数を要求する 1.3テンプレート:E よりも小さい最大の数である。
k=5,...,20 よりも大きな上界はテンプレート:仮リンク(Bob Vaughan)とテンプレート:仮リンク(Trevor Wooley)による[19]。
テンプレート:仮リンク(Ivan Matveyevich Vinogradov)は、改善したテンプレート:仮リンク(Hardy-Littlewood method)[20]を使い、1947年に次の評価式を導き出す多くの精密化を行った。
- <math>G(k)\le k(3\log k +11)</math>
また、1959年には特定はできないがある定数 C と十分に大きな k に対し、次の評価式が成り立つことを示した。
- <math>G(k)\le k(2\log k +2\log\log k + C\log\log\log k)</math>
ハーディ・リトルウッド・ヴィノグラードフの方法であるp-進の形を三角和の評価へ適用すると、和が小さな因子を持つ数を渡って取られるので、テンプレート:仮リンク(Anatolii Alexeevitch Karatsuba)は、1985年にハーディ函数 <math>G(k)</math> （<math>k \ge 400</math> に対して）の新しい評価式を得た[21]。
- <math>\! G(k) < 2 k\log k + 2 k\log\log k + 12 k</math>
さらに、1989年にはヴォーンにより精密化された。
さらに、ウーレイはある定数 C に対して、次の評価式が成り立つことを示した[22]。
- <math>G(k)\le k\log k+k\log\log k+Ck.</math>
ヴォーンとウーレイは、包括的な報告書（サーベイ）を書いた[19]。
参照項目
- フェルマーの多角数定理, すべての正の整数は、多くとも n 個の n-角数の和である。
- テンプレート:仮リンク(Waring–Goldbach problem), 数を素数のべきの和として表す問題。
- 部分和問題, どのようにしたら与えられた数の最短な表現を見つけることができかという論理的な問題。
脚注
参考文献
- J. M. Deshouillers and F. Dress, Sum of 19 biquadrates: on the representation of large integers, Anrc. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci., (4) 92(1992), 113-153.
- W. J. Ellison, Waring's Problem, Amer. Math. Monthly 78(1971), 10-36. （ウェアリング問題に関する解説記事）
- A. Y. Khinchine, Three pearls of number theory, Graylock Press, Rochester, 1952, Unabridged version, Dover, 1998, ISBN 0-486-40026-3. 日本語訳：蟹江 幸博 (翻訳), 数論の三つの真珠, 日本評論社, 2000, ISBN 4-535-60843-1.（リンニクの方法による証明が掲載されている）
- K. Mahler, On the fractional parts of the powers of a rational number, II, Mathematika 4(1957), 122-124.
- M. B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, GTM 164, Springer-Verlag, 1996, ISBN 0-387-94656-X.
- R. C. Vaughan and T. D. Wooley, Waring's problem: a survey, Number Theory for the Millenium, Vol. III (Bennett et al., eds.), A. K. Peters, 2002, pp. 301-340. [1]（ウェアリング問題に関するサーヴェイ）
