力学的エネルギー
力学的エネルギー（りきがくてきエネルギー、Mechanical energy）とは、運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャル）の和のことを指す[1]。
保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和）が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則（力学的エネルギー保存則）と言う[2]。
これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K 、ポテンシャルを U 、力学的エネルギーを E とする。
一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、
なので、
となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、
である。( x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x2 の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。 テンプレート:Indent 十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。
力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー（摩擦などを通してやりとりされる）や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している（→エネルギー保存の法則）。
力学的エネルギーの散逸
保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。 具体的な非保存力の例は、
- 動摩擦力
- <math>-\mu \hat{\mathbf{v}}</math>
- 粘性抵抗力
- <math>-\gamma \mathbf{v}=-\gamma v \hat{\mathbf{v}}</math>
- 慣性抵抗力
- <math>-\beta v \mathbf{v}=-\beta v^2 \hat{\mathbf{v}}</math>
ただし、<math>v=\left| \mathbf{v} \right|</math>、<math>\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/v</math>である。
一般に非保存力fは<math>(f(v)>0)</math>として、
- <math>\mathbf{f}=-f(v) \, \hat{\mathbf{v}}</math>
と表される。
- 運動方程式
- <math> m \dot{\mathbf{v}}= -\nabla U + \mathbf{f}</math>
である。
この式の両辺に速度をかけると、
テンプレート:Indent \cdot \mathbf{v}= -(\nabla U)\cdot \mathbf{v} + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v}</math>
<math> \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\,mv^2\right) = -\frac{dU}{dt} - f(v)\, v</math>
<math> \frac{d}{dt}E = -f(v)\,v</math>
}}
力学的エネルギーの時間変化率は、<math>-f(v)\,v</math>である。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。
非保存力により力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。
