シュテファン＝ボルツマンの法則
テンプレート:物理定数シュテファン=ボルツマンの法則（シュテファンボルツマンのほうそく、テンプレート:Lang-en-short）は、黒体の表面から放射されるエネルギーフラックス (単位面積から、単位時間当たりに放出される電磁波のエネルギー) I が、その黒体の熱力学温度 T の4乗に比例するという物理法則である。ステファン=ボルツマンの法則ともいう。ヨーゼフ・シュテファンが本法則を実験的に明らかにし（1879年）、弟子のルートヴィッヒ・ボルツマンが理論的な証明を与えた（1884年）。
この法則によると、I とT の間には
という関係が成り立つ。比例係数σをシュテファン=ボルツマン定数（ステファン=ボルツマン定数）という。この定数σの値は光速度c 、プランク定数h 、ボルツマン定数k から導くことができ、次の通りである[1]。
実際の物体は黒体であるとは限らない。その場合, シュテファン=ボルツマンの法則は以下のように修正される: テンプレート:Indent εは0以上1以下の定数であり, 放射率もしくは射出率 (emissivity)と呼ばれる。厳密には, 放射率は波長に依存するため, 上式のような関係は近似的なものである。
プランクの放射公式からの導出
テンプレート:Indent と表される[2]。空洞内のエネルギー密度は、全振動数について積分することにより求められるから、
である。ここで、
- <math>x = {h \over kT} \nu</math>
とおくと、
と表され、<math>\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} \mathrm{d}x</math>の値は、<math>{\pi^4 \over 15}</math>となるから[脚注 1]、
となる。
これをエネルギー密度と放射照度の関係式 <math>I = {c \over 4} \rho</math>に代入し、
を得る。π, k, c, h は全て定数であるので、<math>\sigma = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3}</math>とおくと、シュテファン=ボルツマンの法則を得る。
応用例
太陽の表面温度の導出
この法則を用いて、太陽の表面温度を導くことができる。
太陽の表面温度をT 、太陽の半径をr とすると、太陽の表面積は 4πr2 なので、太陽が1秒間に放出する電磁波の全エネルギー E1 は、シュテファン=ボルツマンの法則より、 テンプレート:Indent と計算できる。
地球と太陽の距離をR とすると、太陽から放出された電磁波は地球に届くまでに、電磁波が表面積 4πR2 の球状の範囲にまで広がっている。電磁波が全方向へ均等に広がると仮定すると、E1 を表面積 4πR2 で割ることにより、地球付近での単位面積当たりのエネルギー E2 が導ける。 テンプレート:Indent これは太陽定数と呼ばれる値であり、およそ E2 = 1.37×103 W/m2である[3]ことが大気圏外の人工衛星による観測で分かっている。
したがって、r = 6.960×108 m[3]、R = 1.496×1011 m（軌道長半径）[3]を代入し、T を求めると、
テンプレート:Indent \simeq 5780\, \mathrm{K}</math>}}
である事が分かる。
ヨーゼフ・シュテファンはこの法則を用いて、太陽の表面温度を約6000℃と推定した[4]。
脚注
- ↑ リーマンゼータ関数は、ガンマ関数を用いて、
- <math>\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u-1} du</math> と定義され、従って、<math>\int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u-1} du = \zeta (s) \Gamma(s) </math> となる。
- ここで<math>s = 4</math>とおくと、<math>\int_0^\infty \frac{u^{3}}{e^u-1} du = \zeta (4) \Gamma(4) </math> となる。
- <math>\zeta (4)={\pi^4 \over 90}</math>、 <math>\Gamma(4)\,=3!=6 \,</math>であるから、
- <math>\int_{0}^{\infty} {u^3\over e^u-1} \mathrm{d}u={\pi^4 \over 15}</math>
参考文献
- ↑ Fundamental Physical Constants
- ↑ λ = c /νという関係式から、振動数に替え波長を用いてもよい。
- ↑ 3.0 3.1 3.2 テンプレート:Cite book
- ↑ テンプレート:Cite book
関連項目
