ラグランジュ点

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ラグランジュ点

ラグランジュ点（ラグランジュてん、テンプレート:Lang-en、ラグランジュ・ポイント、L 点とも）とは、天体力学における円制限三体問題の 5 つの平衡解である。

概要

ある天体 E の周りを何らかの天体 A が回っているとしたとき、A はどのような軌道を描くだろうか。 E と A 以外に天体がない場合、A が描くべき軌道は簡単に導く事ができ、A は楕円軌道を描く。 この問題を二体問題といい、その解はすでにアイザック・ニュートンによって知られていた。 例えば E を地球として、A を隕石など地球の引力に束縛された何らかの天体とすると、他に天体が存在しないならば A の軌道は二体問題を解くことによって求められる。

しかし、さらに別の天体 M がある場合には、問題は二体問題に比べて遥かに難しくなる。 A, E, M の 3 つの天体が重力によって影響し合っているときに、それら天体の軌道を決定する問題は三体問題と呼ばれる問題の特別な場合にあたるが、 一般に三体問題は解析的に解けないことが知られている。 たとえば前述の地球と隕石の二体問題に、天体 M として月を加えたものは三体問題に属する。

A の質量が他の 2 天体 E, M の質量に比べ無視できるほど小さいという条件下では、A が特殊な位置にあれば A はその位置（E や M から見た相対位置）に留まっていられることが知られている。このような位置をラグランジュ点という。 より正確にはラグランジュ点とは、E の A への重力、M の A への重力、A の重心系から見た遠心力の 3 つが釣り合っている点の事である。 このような点では A にかかる力は釣り合っているので、A はその位置に留まり続けることができる。

ラグランジュ点は全部で 5 つある事が知られており、いずれも E と M の軌道を含む平面内にある。 それぞれ L₁, L₂, L₃, L₄, L₅ と表され、最初の3 つは E と M を結ぶ直線上にあり、残りの 2 つは E と M の双方から 60 度の位置にある。L₄, L₅ の 2 つを特にトロヤ点 (trojan points) と呼ぶ。

ラグランジュ点はまずレオンハルト・オイラーが1760年頃にトロヤ点以外を発見し、その後ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが1772年にトロヤ点を見つけ、同時に解を示すための条件も緩めた。

彼らの成果は運動方程式を解くことで理論的に得られたものだが、実際にラグランジュ点に天体が留まっている例が確認されている。 例えば太陽と木星のトロヤ点には数千個の小惑星がある事が知られており、この小惑星群はトロヤ群と呼ばれている。 なおトロヤ群の小惑星達の名称はトロイア戦争の英雄達に因み、この事が「トロヤ群」や「トロヤ点」という名前の由来になっている。

ラグランジュ点の概念はスペースコロニーにおいても重要であり、スペースコロニーの提唱者であるジェラルド・オニール等はコロニーを地球と月のラグランジュ点に作る事でコロニーの軌道を安定させるというアイデアを述べていた。

各点

2 つの物体が両者の共通重心の周りをそれぞれ円軌道を描いて回っている場合、この 2 体に比べて質量が無視できるほど小さな第三の物体をある速度を与えてこの軌道面内に置くと、最初の 2 体との相対位置を変えずに回り続けられるような位置が 5 つ存在する。 2 体の共通重心を中心としてこれらと同じ周期で回転する座標系から見ると、ラグランジュ点では 2 体が作る重力場が遠心力と釣り合っている。このために第 3 の物体は 2 体に対して不動のままでいることができる。各点は L₁, L₂, L₃, L₄, L₅ と呼ばれる（図参照）。

1760年頃、レオンハルト・オイラーが制限三体問題の解として、主星と従星を結ぶ直線上にある L₁, L₂, L₃ までの解を発見した。これらはオイラーの直線解と呼ばれる。その後、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが1772年に『三体問題に関するエッセイ』Essai sur le problème des trois corps という論文を発表し、オイラーの解は一般の三体問題の場合にも成り立つこと、主星・従星を一辺とする正三角形の頂点 L₄, L₅ も解（三角解）であることを示した。この業績によってラグランジュとオイラーはこの年のフランス科学アカデミー賞を共同受賞した。

5 つのラグランジュ点はそれぞれ以下のように定義される。

直線解

L₁

L₁ は質量 M ₁ と M ₂ の 2 物体を結ぶ直線上で 2 体の間に存在する。

例：

地球よりも太陽に近い軌道を回る物体は地球よりも短い公転周期を持つが、これは地球から重力で引かれる効果を無視した場合の話である。物体がちょうど地球と太陽の間にあると、地球の重力の効果によって、物体が太陽に引かれる力は弱められる。物体が地球に近ければ近いほどこの効果は大きい。この効果によって L₁ では物体の公転周期が地球の公転周期とちょうど等しくなっている。

太陽 - 地球系の L₁ は太陽の観測を行うのに理想的な場所である。この位置にある物体は決して地球や月に遮られることがないからである。太陽・太陽圏観測衛星 (SOHO: テンプレート:En) はL₁の周りのハロー軌道に位置している。地球 - 月系の L₁ は最小限の軌道変更で月軌道や地球軌道へ入ることができるため、荷物や人員を月へ行き来させるための中間有人宇宙ステーションの場所として理想的である。

L₂

ファイル:L2 rendering.jpg

太陽-地球系のL₂点

L₂ は質量の大きい 2 体を結ぶ線上で、小さい天体の外側に位置する。

例：

太陽からみて地球より遠くにある物体は、通常地球よりも長い公転周期を持つ。しかし、その物体が太陽と地球を通る直線上にあり、太陽から見て地球の裏側にある場合には、太陽に加えて地球の重力からも余計に引っ張られるために公転周期は短くなる。この効果によって公転周期が地球と等しくなる点が、太陽 - 地球系の L₂ である。

太陽 - 地球系の L₂ は宇宙空間での観測を行うのに良い場所である。L₂ 付近にある物体から見ると太陽と地球が同じ方向にあるので、太陽光を遮光したり観測結果の較正を行うのが非常に簡単になる。NASA の WMAP は太陽 - 地球系の L₂ で観測を行っている。NASA の次期宇宙望遠鏡であるジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡も太陽 - 地球系の L₂ に置かれる予定である。地球 - 月系の L₂ は月の裏側をカバーする通信衛星の位置として都合が良い。

従星 M₂ の質量が主星 M₁ に比べて非常に小さい場合には、L₁ と L₂ は M₂ からほぼ等しい距離 r の位置になる。これはヒル圏 (Hill sphere) の半径に等しく、以下の式で表される。

<math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

ここで R は2 体間の距離である。

この半径 r は次のような距離である。M₁ がなかった場合、半径 r の円軌道で M₂ を回る物体の軌道周期は、M₂ が M₁ の周囲を回る公転周期の <math>\frac{1}{\sqrt 3} \approx 0.58</math> である。

例：

• 太陽 - 地球系: 地球から 1,500,000 km
• 地球 - 月系: 月（平均公転半径 384,400 km）から 61,500 km

L₃

L₃ は 2 体を結ぶ直線上で質量の大きい天体の外側に位置する。

例：

3 番目のラグランジュ点である L₃ は地球から見て太陽の裏側にあり、太陽からの距離は太陽から地球までよりもやや遠い。この位置では地球と太陽が引っ張る力が合わさることによって、地球と同じ公転周期になっている。

太陽 - 地球系の L₃ は、SFや漫画で「反地球」が存在する場所としてしばしば描かれた。

三角解（トロヤ点）

ファイル:L4 diagram.svg

ラグランジュ三角解点に働く重力のつりあい。bが共通重心。

L₄ と L₅ は、正三角形解またはトロヤ点などと呼ばれる。2 体の位置を底辺とする正三角形の 3 番目の頂点の位置にあり、従星が主星の周りを公転する軌道上で従星に先行あるいは追従する。公転の中心は主星‐従星系の共通重心にあり、主星の重力と従星の重力の合力が共通重心への向心力として働く点が、三角解点である。軌道長半径は主星‐従星間距離よりわずかに短く、従星の軌道長半径よりわずかに長い。

主星の質量が従星の質量の <math>\frac{25 + 3 \sqrt{69} }{2} \approx 24.96</math> 倍以上ならば L₄ と L₅ は安定な均衡点となる。

例：

太陽-地球系の L₄ と L₅ は地球が太陽を回る公転軌道上で地球の 60 度先行した位置と 60 度後ろの位置にある。L₄ と L₅ は後述するように摂動に対して安定な平衡点であるため、1969年にジェラルド・オニールの提案したスペースコロニーの設置場所として採用された。このため SF におけるスペースコロニーの設置場所として用いられることがある。

安定性

ファイル:Lagrange points2.svg

ラグランジュ点の安定性。内向きテンプレート:Color方向に安定、外向きテンプレート:Color方向に不安定。質量比が小さいので、三角解が不安定になっている。

オイラーが得た 3 つのラグランジュ点は 2 体を結ぶ直線に垂直な平面内でのみ安定である。これは L₁ での場合を考えると分かりやすい。L₁ に置いたテスト粒子を中央の直線に垂直な方向にずらすと、元の平衡点に戻ろうとする方向に力を受ける。これは 2 体の重力の横方向の成分が足し合わさって引き戻す力を生むためである。一方、軸に平行な成分は互いに釣り合って打ち消し合う。

L₁ に置いた物体を 2 体のどちらかに近づくようにずらすと、近づいた方の物体から受ける重力は強まり、より近くへと引っ張られる。これは潮汐力の場合と非常に似ている。

L₁, L₂, L₃ は名目上は不安定な平衡点だが、少なくとも制限三体問題では、これらの点の近くに安定な周期軌道が存在することが分かっている。これは完全な周期軌道で、ハロー軌道と呼ばれる。太陽系のような制限なしの多体力学系にはこの軌道は存在しない。しかし、準周期的な（束縛されているが正確に同じ軌道を繰り返し描くわけではない）リサジュー軌道はN体系にも存在している。 この準周期軌道はこれまで行われたラグランジュ点を使う全ての宇宙ミッションで実際に使われてきた。この軌道は完全に安定ではないが、比較的小さな労力で長期にわたって目的のリサジュー軌道に宇宙機を留めておくことができる。また、少なくとも太陽‐地球系の L₁ を使うミッションでは、厳密に L₁ に宇宙機を置くよりも大きな振幅 (100,000 – 200,000 km) を持つリサジュー軌道に置いた方が実際に好都合であることが分かっている。なぜなら、この軌道に置くと宇宙機は太陽と地球を結ぶ直線から外れた位置に保たれるため、地球と宇宙機との通信に太陽が干渉する影響を減らすことができるからである。

対照的に、L₄ と L₅ は 2 体の質量比 M ₁/M ₂ が <math>\frac{25 + 3 \sqrt{69} }{2} \approx 24.96</math> より大きければ安定な平衡点になる。 太陽-地球系や地球-月系など、たいていの場合 2 体の質量比はこの条件を満たしているので、そのような系ではこの 2 点は安定である。L₄, L₅ にある物体に摂動を与えると物体は平衡点から離れるが、物体が運動を始めるとコリオリの力が働いて物体の軌跡を曲げ、（回転する座標系から見て）インゲン豆型の安定な軌道を描く。

例

テンプレート:Main 太陽-木星系では、トロヤ群と呼ばれる数千個の小惑星が太陽-木星系の L₄, L₅ に位置する軌道を持っており、それぞれ「前トロヤ小惑星群」「後トロヤ小惑星群」という名称が付けられている。太陽-土星系や太陽‐火星系、木星とその衛星の系、土星とその衛星の系にも同様の天体が発見されている。太陽‐地球系のトロヤ点には大きな天体は見つかっていないが、星間塵の雲がL₄とL₅を取り巻いていることが1950年代に発見されている。また、コーディレフスキー雲と呼ばれる、対日照よりもずっと淡いとされる塵の雲が地球 - 月系の L₄, L₅ に存在するとする説もある。

土星の衛星テティスは L₄ と L₅ に 2 つの小さな衛星テレストとカリプソを持っている。また、衛星ディオネもヘレネという衛星を L₄ に、ポリュデウケスを L₅に持っている。これらの衛星はトロヤ衛星と呼ばれ、ラグランジュ点の周りを方位角方向に動き回る。ポリュデウケスが最もずれが大きく、土星-ディオネ系の L₅ から最大で 32 度離れる。テティスやディオネはラグランジュ点に引き連れている衛星たちよりもずっと質量が大きく、土星はこの 2 つの衛星よりもさらにずっと大きい。このためにこれら全体の系は安定になっている。

他の同期軌道天体

地球の同期軌道天体である小惑星クルースンはある意味トロヤ群天体に似た軌道で地球のそばを回っているが、トロヤ群と全く同じではない。むしろ、クルースンはある 2 つの太陽周回軌道の片方を占めていて、地球と接近遭遇することによって周期的に 2 つの軌道を乗り換えていると言うのが正しい。この小惑星は地球に近づくと地球から軌道エネルギーを得てより半径の大きなエネルギーの高い軌道に移る。しばらくすると、地球がこの小惑星に追いついて逆に小惑星からエネルギーを奪い、小惑星はより半径の小さく軌道周期の短い軌道に落ちる。そしてまた地球と遭遇して外側の軌道に移る、というサイクルを繰り返している。このエネルギーの移動によって地球の公転周期、つまり 1 年の長さはほとんど影響を受けない。なぜなら地球の質量はクルースンの 200 億 (2.00 × 10¹⁰) 倍も大きいからである。

土星の衛星エピメテウスとヤヌスも同様の関係にあるが、この 2 つの衛星はほぼ同じ質量なので実際に周期的に互いの軌道が入れ替わる（ヤヌスの方が約 4 倍重いが軌道が変わるには十分なほど軽い）。また別の同様の状況として軌道共鳴という現象がある。これは軌道運動をしている天体同士が相互作用によって単純な整数比の軌道周期を持つようになったものである。

宇宙地政学的重要性

地球表面における地峡・海峡など地理的重要地点の支配が地政学的検討の対象となったことが拡張されて、同様の観点が、地球周辺の宇宙空間のコントロールについても主張される。エヴェレット・C・ドールマン「宇宙時代の地政戦略---アストロポリティックスによる分析」には、ラグランジュ点についての論及がある。「地球や宇宙にある特定の場所をコントロールできると、その効率性の面からもかなり有利な立場を得ることができるし、ここをコントロールするものは交易面でも軍事面でも支配的になれる」という。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• トロヤ群
• トロヤ衛星
• スペースコロニー
• サイド
• ラグランジュポイント (ゲーム)

外部リンク

• NASAのWMAPのサイトにあるラグランジュ点の説明。L4, L5 が安定になる条件の導出など テンプレート:Ref-en
• カリフォルニア大学リバーサイド校の John Baez 教授によるラグランジュ点の説明 テンプレート:Ref-en