レピュニット

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レピュニット (Repunit) とは全ての桁が 1である自然数のことである。つまり 1, 11, 111, 1111,...である。 R_n = (10ⁿ - 1) / 9 の形に表される。repeated unitを省略したものが名前の由来である。

n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...のときに、R_n は素数となる。レピュニットの素数が無限にあるかどうかは知られていない。

目次

1 レピュニットの性質
2 知られているレピュニット素数
3 レピュニットの素因数分解
- 3.1 基数10 のレピュニットの R₁ から R₇₀ までの素因数分解の表
4 一般化
5 参考
6 関連項目
7 外部リンク

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[1])。

知られているレピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合もおそらく素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表した^[2]。また、2007年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した^[3]。

*R_n* = (10ⁿ - 1) / 9</caption>
No.	n	年	発見者
1	2	-	-
2	19	-	-
3	23	-	-
4	317	1978	Williams
5	1031	1986	Williams, Dubner
6	49081 ?	1999	Dubner
7	86453 ?	2000	Baxter
8	109297 ?	2007	Dubner
9	270343 ?	2007	Voznyy

レピュニットの素因数分解

基数10 のレピュニットの R₁ から R₇₀ までの素因数分解の表

<td>6</td>

<tr valign=top><td>R₇₀</td><td>11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4,649 · 9,091 · 123,551 · 909,091 · 4,147,571 · 102,598,800,232,111,471 · 265,212,793,249,617,641</td><td>12</td></tr> </table>

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは R_n ( a ) = ( a ⁿ - 1) / ( a - 1) と定義される。

a =2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは a^{n -1} の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅ ( 3 )=11², R₄ ( 7 )=20², R₃ ( 18 )=7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[4]）。

F_d ( x ) を d 次の円分多項式とすると、<math>R_n(a)=\prod_{d\mid n, d>1}F_d(a)</math>と表すことができる。

参考

↑ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411--417.
↑ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
↑ Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List
↑ Yann Bugeaud, On the diophantine equation <math>a\frac{x^n-1}{x-1}=y^q</math>, Number Theory ( Turku, 1999), 19--24, de Gruyter, 2001.

関連項目

回文数
レピュニット (小惑星) - 小惑星番号が11111であることから命名

外部リンク

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レピュニット	素因数分解	素因数の数(含重複)
R₁	1	0
R₂	素数	1
R₃	3 · 37	2
R₄	11 · 101	2
R₅	41 · 271	2
R₆	3 · 7 · 11 · 13 · 37	5
R₇	239 · 4,649	2
R₈	11 · 73 · 101 · 137	4
R₉	3² · 37 · 333,667	4
R₁₀	11 · 41 · 271 · 9,091	4
R₁₁	21,649 · 513,239	2
R₁₂	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9,901	7
R₁₃	53 · 79 · 265,371,653	3
R₁₄	11 · 239 · 4,649 · 909,091	4
R₁₅	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2,906,161	6
R₁₆	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5,882,353	6
R₁₇	2,071,723 · 5,363,222,357	2
R₁₈	3² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52,579 · 333,667	9
R₁₉	素数	1
R₂₀	11 · 41 · 101 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961	7
R₂₁	3 · 37 · 43 · 239 · 1,933 · 4,649 · 10,838,689	7
R₂₂	11² · 23 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239	7
R₂₃	素数	1
R₂₄	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 99,990,001	10
R₂₅	41 · 271 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001	5
R₂₆	11 · 53 · 79 · 859 · 265,371,653 · 1,058,313,049	6
R₂₇	3³ · 37 · 757 · 333,667 · 440,334,654,777,631	7
R₂₈	11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4,649 · 909,091 · 121,499,449	8
R₂₉	3,191 · 16,763 · 43,037 · 62,003 · 77,843,839,397	5
R₃₀	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2,161 · 9,091 · 2,906,161	13
R₃₁	2,791 · 6,943,319 · 57,336,415,063,790,604,359	3
R₃₂	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1,409 · 69,857 · 5,882,353	11
R₃₃	3 · 37 · 67 · 21,649 · 513,239 · 1,344,628,210,313,298,373	6
R₃₄	11 · 103 · 4,013 · 2,071,723 · 5,363,222,357 · 21,993,833,369	6
R₃₅	41 · 71 · 239 · 271 · 4,649 · 123,551 · 102,598,800,232,111,471	7
R₃₆	3² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9,901 · 52,579 · 333,667 · 999,999,000,001	12
R₃₇	2,028,119 · 247,629,013 · 2,212,394,296,770,203,368,013	3
R₃₈	11 · 909,090,909,090,909,091 · 1,111,111,111,111,111,111	3
R₃₉	3 · 37 · 53 · 79 · 265,371,653 · 900,900,900,900,990,990,990,991	6
R₄₀	11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3,541 · 9,091 · 27,961 · 1,676,321 · 5,964,848,081	11
R₄₁	83 · 1,231 · 538,987 · 201,763,709,900,322,803,748,657,942,361	4
R₄₂	3 · 7² · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1,933 · 2,689 · 4,649 · 459,691 · 909,091 · 10,838,689	15
R₄₃	173 · 1,527,791 · 1,963,506,722,254,397 · 2,140,992,015,395,526,641	4
R₄₄	11² · 23 · 89 · 101 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 · 1,052,788,969 · 1,056,689,261	11
R₄₅	3² · 31 · 37 · 41 · 271 · 238,681 · 333,667 · 2,906,161 · 4,185,502,830,133,110,721	10
R₄₆	11 · 47 · 139 · 2,531 · 549,797,184,491,917 · 11,111,111,111,111,111,111,111	6
R₄₇	35,121,409 · 316,362,908,763,458,525,001,406,154,038,726,382,279	2
R₄₈	3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9,901 · 5,882,353 · 99,990,001 · 9,999,999,900,000,001	13
R₄₉	239 · 4,649 · 505,885,997 · 1,976,730,144,598,190,963,568,023,014,679,333	4
R₅₀	11 · 41 · 251 · 271 · 5,051 · 9,091 · 21,401 · 25,601 · 182,521,213,001 · 78,875,943,472,201	10
R₅₁	3 · 37 · 613 · 210,631 · 2,071,723 · 52,986,961 · 5,363,222,357 · 13,168,164,561,429,877	8
R₅₂	11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265,371,653 · 1,058,313,049 · 1,900,381,976,777,332,243,781	9
R₅₃	107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071	4
R₅₄	3³ · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52,579 · 333,667 · 70,541,929 · 14,175,966,169 · 440,334,654,777,631	14
R₅₅	41 · 271 · 1,321 · 21,649 · 62,921 · 513,239 · 83,251,631 · 1,300,635,692,678,058,358,830,121	8
R₅₆	11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4,649 · 7,841 · 909,091 · 121,499,449 · 127,522,001,020,150,503,761	12
R₅₇	3 · 37 · 21,319 · 10,749,631 · 1,111,111,111,111,111,111 · 3,931,123,022,305,129,377,976,519	6
R₅₈	11 · 59 · 3,191 · 16,763 · 43,037 · 62,003 · 77,843,839,397 · 154,083,204,930,662,557,781,201,849	8
R₅₉	2,559,647,034,361 · 4,340,876,285,657,460,212,144,534,289,928,559,826,755,746,751	2
R₆₀	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2,161 · 3,541 · 9,091 · 9,901 · 27,961 · 2,906,161 · 4,188,901 · 39,526,741	20
R₆₁	733 · 4,637 · 329,401 · 974,293 · 1,360,682,471 · 106,007,173,861,643 · 7,061,709,990,156,159,479	7
R₆₂	11 · 2,791 · 6,943,319 · 57,336,415,063,790,604,359 · 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091	5
R₆₃	3² · 37 · 43 · 239 · 1,933 · 4,649 · 10,837 · 23,311 · 45,613 · 333,667 · 10,838,689 · 45,121,231 · 1,921,436,048,294,281	14
R₆₄	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1,409 · 19,841 · 69,857 · 976,193 · 588,2353 · 6,187,457 · 834,427,406,578,561	15
R₆₅	41 · 53 · 79 · 271 · 265,371,653 · 162,503,518,711 · 5,538,396,997,364,024,056,286,510,640,780,600,481	7
R₆₆	3 · 7 · 11² · 13 · 23 · 37 · 67 · 4,093 · 8,779 · 21,649 · 513,239 · 599,144,041 · 183,411,838,171 · 1,344,628,210,313,298,373	15
R₆₇	493,121 · 79,863,595,778,924,342,083 · 28,213,380,943,176,667,001,263,153,660,999,177,245,677	3
R₆₈	11 · 101 · 103 · 4,013 · 2,071,723 · 28,559,389 · 1,491,383,821 · 5,363,222,357 · 21,993,833,369 · 2,324,557,465,671,829	10
R₆₉	3 · 37 · 277 · 203,864,078,068,831 · 11,111,111,111,111,111,111,111 · 1,595,352,086,329,224,644,348,978,893</sub>