過不足算

過不足算（かふそくざん）は文章題の一種。

概要

ある個数のものを何人かに分けたときの過不足の情報が2つ与えられる。そこから、人数と全体の個数を求める問題。 似たような問題に差集め算（さあつめざん）がある。 いずれも、

全体の差÷1つあたりの差=個数

という式が成り立つ。

しかし、テンプレート:誰範囲2なので、3つの型があるとして与えるとよい。やがて、テンプレート:要出典範囲。

古くは「盈（えい）不足算」ともいわれていた。

歴史

• 中国の数学書、九章算術に同様な問題がある。
• 日本では、塵劫記に布盗人算（きぬぬすびとざん）として登場する。

例題(余る場合と不足する場合が存在する場合)

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると4反あまり、10反ずつ分けると8反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

• テンプレート:要出典範囲、テンプレート:誰範囲。
• ひとつの解法として以下のものがあげられる。
  • 盗んだ布を8反多いことにしてみる。すると8反ずつ分ける方法では、12反あまり、10反ずつ分ける方法ではちょうど割り切れることになる。
  • これより、2反×人数=12反であることがわかる。
  • したがって、泥棒は6人、また、盗んだ布は8×6+4=10×6-8=52反だったことがわかる。

別解

全体の差÷1人分の差＝人数

(8＋4)÷(10－8)＝6(人)

8×6＋4＝52 (反)

または

10×6－8＝52 (反)

答えは6人、52反である。

ファイル:Kabusoku.jpg

例題(どちらとも余る場合)

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると12反あまり、10反ずつ分けると2反あまる。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

全体の差÷1人分の差＝人数

(12-2)÷(10－8)＝5(人)

8×5＋12＝52 (反)

または

10×5+2＝52 (反)

答えは5人、52反となる。

ファイル:Kabusoku2.jpg

例題(どちらとも不足する場合)

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けるには2反不足し、10反ずつ分けるには12反不足する。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

全体の差÷1人分の差＝人数

(12－2)÷(10－8)＝5(人)

8×5-2＝38 (反)

10×5-12＝38 (反)

答えは5人、38反となる。

ファイル:Kabusoku3.jpg