正則行列

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正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。

ある上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれるを成す。 多項式の根として定められる部分群はテンプレート:仮リンクあるいは行列群と呼ばれるテンプレート:仮リンクの一種で、その表現論代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。

定義

テンプレート:Mvar単位行列テンプレート:Mvar で表す。 の元を成分にもつ テンプレート:Mvar正方行列 テンプレート:Mvar に対して、

<math>AB = I = BA</math>

を満たす テンプレート:Mvar正方行列 テンプレート:Mvar が存在するとき、テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar正則行列、あるいは単に正則であるという。テンプレート:Mvar が正則ならば上の性質を満たす テンプレート:Mvar は一意に定まる。 これを テンプレート:Mvar逆行列と呼び、テンプレート:Math と表すテンプレート:Sfn

次の複素数[1]の元を成分にもつ行列 テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar を考える。

<math>

A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{pmatrix} </math> このとき テンプレート:Math を満たすので、テンプレート:Mvar は正則行列で[2]テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar の逆行列である。 一方、 テンプレート:Mvar に注目すれば テンプレート:Mvar も正則行列で、テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar の逆行列である。

また次の行列 テンプレート:Mvar は逆行列をもたないので、正則ではない。

<math>

N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

特徴づけ

テンプレート:Mvar正方行列 テンプレート:Mvar に対して次は同値である。 テンプレート:Div col

テンプレート:Div col end

性質

テンプレート:Mvar 次正則行列 テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar について次が成り立つ。

判定法

テンプレート:See also 行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できるテンプレート:Sfn。 具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。 一方で、理論的には行列式を使ったクラメールの公式も重要である。 しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かないテンプレート:Sfn

関連項目


脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

  • この例の場合は体の標数テンプレート:Math でなければ何でもよい
  • ただし、この テンプレート:Mvarユニモジュラ行列ではない