複素平面

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複素平面

複素平面（ふくそへいめん、complex plane）は、数学における複素数の幾何学的表現である。複素平面とは、直交座標 (x, y) の位置に複素数 x + iy を対応させた平面のことである。これは、数直線の拡張になっている。x 軸を実軸 (real axis)、y 軸を虚軸 (imaginary axis) と呼ぶ。

複素平面を利用すると、複素数の極座標による表示である極形式を幾何学的にとらえることができる。とくに、「積の偏角は偏角の和に等しい」という性質を視覚化してとらえることができる。

また、平面幾何学における反転についても、複素平面上で考えると

<math>f(z)=\frac{1}{\overline{z}}</math>

という比較的簡単な変換式でとらえることができるという利点がある。

無限遠点 ∞ を追加して1点コンパクト化するとリーマン球面が得られる。複素平面よりもリーマン球面の方がとらえやすくなる場合もある（代数学の基本定理の証明など）。

複素平面における四則演算

複素数の和、差、実数倍は、複素平面においては、いずれも平面ベクトルのそれと同様にふるまう。

複素数の積と回転

複素数の積は、極形式で表すことにより、点の位置を次のように幾何学的に明確にとらえることができる。

複素数 z = x + yi（x, y は実数）に対して、点 (x, y) の極座標表示を (r, θ) とすると、x = r cos θ, y = r sin θ が成り立つから、

z = x + yi = r(cos θ + i sin θ)

と表すことができる。この右辺の表示を複素数 z の極形式と呼ぶ。r は z の絶対値 <math>|z|=\sqrt{x^2 +y^2}</math> に等しく、θ を z の偏角と呼び、記号で arg z で表す。

オイラーの公式 e^iθ = cos θ + i sin θ を使うと、極形式は

z = re^iθ

と簡単に記述できる。

2つの複素数 z, w に対して、その極形式をそれぞれ z = re^iα, w = se^iβ とする。積 zw を計算すると、

(cos α + i sin α) · (cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β)

が三角関数の加法定理より成り立つから、

zw = rse^i(α+β)

となり、zw の極形式が得られる。すなわち

<math>|zw|=|z||w|</math>

arg zw ≡ arg z + arg w (mod 2π)

ゆえに、点 zw は点 z を原点を中心に β 回転、s 倍に相似拡大して得られる点だと分かる。

とくに、絶対値が 1 の複素数を掛けることは、複素平面において原点周りの回転を施すことと同等であると分かる。

歴史

複素平面は、1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に Jean-Robert Argand も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の Caspar Wessel の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。

用語の注意

通常の実数体 R 上の平面 R² を実平面と呼ぶことがあるのと同様に、複素数体 C 上で定義される平面すなわち C² のことを複素平面と呼ぶことがある。この意味の複素平面は実四次元の空間を成す。これとの区別のために、ガウス平面を複素数平面と呼ぶことがある。

行列モデル

複素数は、ガウス平面上の点であると同時に、「左からの積」が引き起こす原点を中心とする回転という「平面上の変換」としての側面を併せ持っていることを上で述べた。後者については、複素数体を実数体 R 上の 2 次全行列環の部分体として実現することで、一次変換として捉え直すことができる。

これは、対応

<math>1\leftrightarrow \begin{pmatrix}

1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} ,\quad i\leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}</math> により、行列の集合

<math>M:=\left\{\left.\begin{pmatrix}

a &b \\ -b &a \end{pmatrix} \,\right|\, a, b \in \mathbb{R} \right\}</math> が複素数体と同型な体になる（複素数の行列模型）ということを用いる。

M に属する行列 A と複素数 α = a + bi が対応しているとき、A の行列式 det A は a² + b² となり、ちょうど α の絶対値の自乗 |α|²（あるいはノルム N(α)）に一致する。このとき、

<math>S=\frac{1}{|\alpha|} A=\begin{pmatrix}

\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} &\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[10pt] \cfrac{-b}{\sqrt{b^2+c^2}} &\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}</math> の行列式は 1 で、I₂ を 2 次単位行列として、SS^T = S^TS = I₂ が成り立つ。すなわち、S は直交行列である。また、

<math>\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 +\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 =1</math>

であるから、

<math>\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} ,\quad

\sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> を満たす実数 θ が取れて、

<math>S=\begin{pmatrix}

\cos \theta &\sin \theta \\ -\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}</math> と表せる。

行列式が 1 の直交行列は平面上で原点を中心とする回転を与えることは線型代数学でよく知られていることであるが、今の場合特に A = |α|S であるので、A は原点を中心とする |α| 倍の拡大・縮小と原点を中心とする θ 回転の合成でできていることが確認できる。これはちょうど、対応する複素数を極形式で書くのと同じである。特に

<math>M=\left\{ \left. r\begin{pmatrix}

\cos \theta &\sin \theta \\ -\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix} \, \right| \, r,\theta \in \mathbb{R} \right\}</math> と表すことができる。

2つの複素数 α = r(cos θ + i sin θ), ξ = x + yi の積 αξ は α の行列モデル A と複素平面上の点 x = (x, y) という別々の実現を考えることによって、複素数平面上の点 x を一次変換 A で点 Ax に写す操作であると捉えることができることが確認できたわけである。

関連項目

• 複素数
• リーマン球面
• オイラーの公式

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