直交行列
テンプレート:Redirect 直交行列（ちょっこうぎょうれつ, orthogonal matrix）とは n × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM = M MT = E を満たすような正方行列のことである。ただし、 E は n 次の単位行列。
有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、 v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w) が成り立つ。ただし、(·, ·) は内積を表す。
定義
<math>n</math>次正方行列 <math>M</math> の 転置行列 <math>M^T</math> が <math>M</math>の逆行列になっているとき、すなわち<math>M^T = M^{-1}</math>を満たすとき、<math>M</math> を直交行列という。
直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 <math>V</math> の任意のベクトル <math>v, w</math> に対し、内積を <math>(v, w) = v^T w </math> とする。<math>v, w</math> が行列 <math>M</math> により <math>Mv, Mw</math> に変換されたとき、内積は
- <math> (Mv, Mw) = (Mv)^T Mw = v^T M^T M w </math>
となるので、行列 <math>M</math> が直交行列であるのは計量ベクトル空間 <math>V</math> の内積を変えないときに限る。
n 次直交行列全体の集合を n 次直交群（orthogonal group）といい、<math>O(n)</math>と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群（special orthogonal group）といい、<math>SO(n)</math>と書く。
例
- 回転行列
2次元[ユークリッド空間]において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。
- <math>\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} </math>
- 置換行列
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。
- <math>\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} </math>
- 反射行列
反射行列 <math>H</math> は、単位ベクトル <math>u</math> を以下のように反転させる性質を持ち、ハウスホルダー変換に使用される。
- <math>Hu=-u</math>
性質
- 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
- <math>1 = \det (E) = \det (A A^{-1}) = \det (A A^T) = \det (A) ^2</math> となる。
- n 次行列 A を n 個の列ベクトル（行ベクトル）<math>v_1, v_2, ... , v_n</math> を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=E は <math>v_1, v_2, ... , v_n</math>が正規直交基底になる条件と同値である。
- n 次の直交行列 A 、n 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。
参考文献
関連項目
- ユニタリ行列: エルミート内積に関して上と類似の性質を持つ行列
- 置換行列: 直交行列
- 回転行列: 直交行列
- QR分解: 正方行列から直交行列を作る手法
- 特異値分解: あらゆる行列を直交行列と特異値による対角行列へ分解 A = UΣVT
脚注
