算術幾何平均
数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
定義
<math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について テンプレート:Indent と定めれば数列 <math>\{a_n\}</math> と <math>\{b_n\}</math> は同じ値に収束する。その極限を <math>a,\ b</math> の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 <math>b_n</math> の根号の符号は算術平均 <math>a_n</math> の側にあるものを選ぶものとする。 テンプレート:Indent <math>\real(b/a)>0</math> の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。 テンプレート:Indent</math>}} <math>\real(b/a)=0</math> の場合は、次式になる。 テンプレート:Indent\\ &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\ &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\ \end{align}</math>}}
概要
<math>a,\ b</math> が正の実数である場合、 テンプレート:Indent が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、 テンプレート:Indent となることから テンプレート:Indent という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から テンプレート:Indent が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
性質
正の定数 <math>c > 0</math> に対し テンプレート:Indent が成り立つ。
この数列の収束は テンプレート:Indent を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
また次のことが知られている。 テンプレート:Indent. </math>}} 右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
証明
複素数 <math>a,\ b</math> の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。 テンプレート:Indent <math>\left|a_n-b_n\right|<\left|a_n+b_n\right|</math>となるように <math>b_n</math> の根号の符号を決めると約束したので、 テンプレート:Indent である。<math>d_n</math> を <math>a_n</math> の階差とすれば テンプレート:Indent{\sqrt{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}<\frac{1}{2}</math>}} である。したがって、級数 <math>\sum{d_n}</math> は絶対収束する。すなわち、数列 <math>\{a_n\}</math> は収束し、数列 <math>\{b_n=2a_{n+1}-a_n\}</math> は <math>\{a_n\}</math> と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、<math>a,\ b</math> は正の実数とする。
テンプレート:Indent\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{{\cos^2\theta}\sqrt{(a^2+b^2\tan^2\theta)(1+\tan^2\theta)}}\\
\end{align}</math>}}
<math>x=\tan\theta</math> と置換すると、
テンプレート:Indent\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\
\end{align}</math>}}
<math>t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}</math> と置換することによって、
テンプレート:Indent{\sqrt{ab+abt^2}}\right)dt=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}dt</math>
<math>\begin{align}I(a,b)
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
&=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)
\end{align}</math>}}
となる。したがって、
テンプレート:Indent=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\
\end{align}</math>}}
<math>a,\ b</math> が複素数である場合は、積分路 <math>t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}</math> と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 <math>u=\real\left(b/a\right)</math>, <math>v=\image\left(b/a\right)</math> とすれば、 テンプレート:Indent} &=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\ &=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\ &=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\ \end{align}</math>}} これに <math>x^2=\frac{1+u}{u+u^2+v^2}</math> を代入すると テンプレート:Indent} &=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\ &=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\ \end{align}</math>}} であり、<math>u>0</math> となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 <math>\pm i\,\frac{a+b}{2}</math> の間（原点に近いところ）を通る。また、<math>u'=\real\left(\sqrt{b/a}\right)</math>, <math>v'=\image\left(\sqrt{b/a}\right)</math> とすると、 テンプレート:Indent{2x}=\frac{(u'+iv')^2x^2-1}{(u'+iv')x}\\ &=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\ \end{align}</math>}} これに <math>x^2=\frac{1}{u'^2+v'^2}</math> を代入すれば テンプレート:Indent\\ \end{align}</math>}} であるから、積分路は極 <math>\pm{i}</math> の間を通る。
算術調和平均
<math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列 テンプレート:Indent である。つまり、算術調和平均は <math>a,\ b</math> の幾何平均に等しい。このことは テンプレート:Indent から明らかである。
調和幾何平均
<math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列 テンプレート:Indent である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、<math>a_n,\ b_n</math> を逆数にして テンプレート:Indent から明らかである。
