正準量子化

正準量子化（せいじゅんりょうしか、テンプレート:Lang-en-short）とは、古典力学的な理論から量子力学的な理論を推測する手法（量子化）の一種である。具体的には、ハミルトン力学(ハミルトン形式の古典力学)での正準変数を、正準交換関係をみたすようなエルミート演算子に置き換える。この方法では、ハミルトン力学におけるポアソン括弧が、量子力学での交換関係に対応している。正準量子化により、古典力学では可換であった力学量(c-数)のなす代数は、量子力学では非可換な力学量(q-数)のなす代数に移行する。

解説

正準量子化とは、量子力学的な系を扱う際に、古典力学から量子力学での対応則を構成する手法である。その具体的な手続きは、以下のようにまとめられる。

正準量子化の手続き

対象とする系をハミルトン力学(正準形式)で記述する。
正準形式における正準変数<math>(q,\,p)</math>を、正準交換関係を満たす演算子 <math>(\hat{q},\hat{p})</math>に置き換える。
正準変数<math>(q,\,p)</math>の関数である古典的力学量<math>A(q, \,p)</math>について、正準変数の項を2で定めた演算子<math>(\hat{q},\hat{p})</math>に置き換える。この操作によって、古典的力学量<math>A=A(q, \,p)</math>の量子力学的対応物<math>\hat{A}=\hat{A}(\hat{q}, \hat{p})</math>を定める。

2の操作を、より詳細に述べると以下のようになる。

1自由度の場合

古典的な正準変数 <math>(q,\,p)</math>を、正準交換関係テンプレート:Indent をみたす演算子 <math>(\hat{q},\hat{p})</math>に置き換える。

N自由度の場合

古典的な正準変数 <math>(q_1,p_1;q_2,p_2;\cdots ;q_N,p_N)</math>を、正準交換関係テンプレート:Indent をみたす演算子に置き換える。

正準量子化における演算子の不定性などの問題については、正準量子化における諸問題の項を参照のこと。

具体例

1自由度の場合

1次元デカルト座標の場合の例

1次元の量子系を考え、波動関数の状態空間として、座標表示したものを選ぶ。すなわち、座標xと時間tの関数<math>\psi(x,\,t)</math>のうち、自乗可積分なもの（座標表示の波動関数）全体が、系のヒルベルト空間をなす。ここで、座標<math>\,x</math>と正準共役運動量<math>\,p_x</math>を、テンプレート:Indent で定義される演算子<math>\hat{x}</math>、<math>\hat{p}_x</math>で置き換える。このとき、テンプレート:Indent となり、<math>\hat{x}</math>、<math>\hat{p}_x</math>が正準交換関係をみたしていることがわかる。つまり、座標表示では掛け算演算子としての<math>\hat{x}</math>と微分演算子としての<math>\hat{p}_x</math>が、正準変数<math>x,\, p_x</math>の正準量子化による量子力学的表現となる。系の古典力学的なハミルトニアンがテンプレート:Indent{2m}+V(x)</math>}} で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンはテンプレート:Indent{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)</math>}} となる。

古典力学との対応

交換関係とポアソン括弧

正準量子化の操作は、古典力学での「ポアソン括弧」と量子力学における「交換関係」の対応原理を考えると、より明確になる。テンプレート:Indent\frac{\partial{}B}{\partial{}p_{\alpha}}-\frac{\partial{}B}{\partial{}q_{\alpha}}\frac{\partial{}A}{\partial{}p_{\alpha}}\right)\Leftrightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]=\frac{1}{i\hbar}\left( \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\right)</math>}}

実際、正準変数については、テンプレート:Indent の関係が成り立つ。力学量の時間発展についても、この対応原理からテンプレート:Indent{dt}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}]+\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}</math>}} とハイゼンベルクの運動方程式が現れる。言い換えれば、正準量子化では、ハミルトン力学における2つのc-数の力学量<math>A, \,B</math>の満たすポアソン括弧を、q-数(演算子)の力学量<math>\hat{A}, \,\hat{B}</math>の満たす交換関係に対応させ、その関係を通じて量子力学的表現を得ているともいえる。これらの対応原理は1925年にディラックによって明らかにされた^[1]。