ユニタリ行列

ユニタリ行列(～ぎょうれつ、テンプレート:Lang-en)は、次を満たす複素正方行列 テンプレート:Mvar として定義される。

<math>U^* U = UU^* = I .</math>

ここで、テンプレート:Mvar は単位行列、テンプレート:Mvar は行列 テンプレート:Mvar の随伴行列 (テンプレート:Math)。

なお、実数で構成されるユニタリ行列は直交行列に等しく直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。

<math>U^* U = \overline{U}^T U = I .</math>

性質

• 正方行列である。
• 正規行列である。
• 任意のベクトル テンプレート:Mvar に対しユニタリ行列による変換は等長変換 (テンプレート:En) である。テンプレート:Math.
• 逆行列は テンプレート:Math.
• 固有値の絶対値は テンプレート:Math。 テンプレート:Math（つまり、すべての固有値は複素平面の単位円上に存在する）

(証明) テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar が固有値。テンプレート:Math また テンプレート:Math.

• 特異値は テンプレート:Math。 テンプレート:Math.
• 行列式の絶対値は テンプレート:Math。テンプレート:Math.

(証明) テンプレート:Math.

同値条件

以下の条件は、複素正方行列 テンプレート:Mvar がユニタリ行列であることと同値である

1. 行列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす
2. 行列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす
3. 行列 テンプレート:Mvar は正則行列で テンプレート:Math を満たす
4. 行列 テンプレート:Mvar の列は正規直交基底である
5. 行列 テンプレート:Mvar の行は正規直交基底である
6. 行列 テンプレート:Mvar は等長写像である
7. 行列 テンプレート:Mvar は単位円上に固有値をもつ正規行列である

関連項目

• ユニタリ変換
• ユニタリ群
• ユニタリ作用素
• 特異値分解 - 任意の行列をユニタリ行列と特異値を対角成分とする対角行列に分解。テンプレート:Math.
• 正規行列
• シュレーディンガー方程式