ユニタリ行列

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ユニタリ行列(~ぎょうれつ、テンプレート:Lang-en)は、次を満たす複素正方行列 テンプレート:Mvar として定義される。

<math>U^* U = UU^* = I .</math>

ここで、テンプレート:Mvar単位行列テンプレート:Mvar は行列 テンプレート:Mvar随伴行列 (テンプレート:Math)。

なお、実数で構成されるユニタリ行列は直交行列に等しく直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。

<math>U^* U = \overline{U}^T U = I .</math>

性質

(証明) テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar が固有値。テンプレート:Math また テンプレート:Math.
(証明) テンプレート:Math.

同値条件

以下の条件は、複素正方行列 テンプレート:Mvar がユニタリ行列であることと同値である

  1. 行列 テンプレート:Mvarテンプレート:Math を満たす
  2. 行列 テンプレート:Mvarテンプレート:Math を満たす
  3. 行列 テンプレート:Mvar は正則行列で テンプレート:Math を満たす
  4. 行列 テンプレート:Mvar の列は正規直交基底である
  5. 行列 テンプレート:Mvar の行は正規直交基底である
  6. 行列 テンプレート:Mvar等長写像である
  7. 行列 テンプレート:Mvar は単位円上に固有値をもつ正規行列である

関連項目