4つの4

4つの4（よっつのよん）は、4つの4と数学記号を使い、さまざまな数（普通は整数）を作ることを目指すパズル（数学パズル）である。フォーフォーズ（Four fours）ともいう。

使用可能な記号

日本の場合、一般的には以下の記号（演算）が使われているようである。

• 四則演算
• 小数点
• 冪乗
• 平方根
• 階乗
• 循環小数の循環節を表す点 <math>\left( .\dot4 = 0.\dot4=0.444 \cdots = \frac{4}{9} \right)</math>

以下の記号が用いられることもある。

• 二重階乗 !!（1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積）
• ガウス記号（小数点以下の端数を切り捨てる）
• ガンマ関数（xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!）
• パーセント（4% = 0.04）
• Σ（その数までの和）

例

基本的な例

<math>44</math>	<math>=44+4-4</math>	・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい
	<math>={{4 \times 4.4} \over .4}</math>	・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる
	<math>=4!+4!- \sqrt{4} - \sqrt{4}</math>	・・・階乗、平方根を使用した例

0から10までの例

• 0=44-44
• 1=44/44
• 2=4/4+4/4
• 3=(4+4+4)/4
• 4=4+(4-4)*4
• 5=(4*4+4)/4
• 6=4+(4+4)/4
• 7=44/4-4
• 8=4+4+4-4
• 9=4+4+4/4
• 10=(44-4)/4

記号を多用した例

<math> 149 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4}/.4)}^{4!}}}} + 4! </math>

その他

このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、20世紀初頭テンプレート:要出典に1から1000まで（ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く）の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号（使用可能な記号の節の循環小数まで）では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、

<math>113</math>	<math>=\Gamma (\Gamma (4))-{4!+4 \over 4}</math>
	<math>=\left({4!+4 \over 4} \right) !!+4!!</math>
	<math>=\Sigma \Sigma 4 \times \sqrt{4} + \Sigma 4 - \Sigma \sqrt{4}</math>
	<math>=[(4!+4.4) \times 4]</math>

などがあった。

自然対数を用いてよい場合、次の式によって3つの4ですべての正の整数が表現できる。 テンプレート:Indent}}}{\log{4}}\right)}{\log{\sqrt{4}}}</math>}} これは、さらにシンプルに次の様にも書ける。 テンプレート:Indent{\log_{4}{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}}</math>}} これらのとき、√は n 個つける。

似た問題に、その年の数字（2004年なら 2,0,0,4）を使って数を作る遊びもある。

関連項目

• 小町算