ユニタリ作用素
数学の一分野、函数解析学におけるユニタリ作用素（ユニタリさようそ、テンプレート:Lang-en-short）は、ヒルベルト空間上のテンプレート:仮リンク、すなわち構造（今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる位相構造）を保つ全単射である。与えられたヒルベルト空間 テンプレート:Mvar からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合は群を成し、テンプレート:Mvar のヒルベルト群 テンプレート:Math と呼ばれることもある。
定義と注意
ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Math がユニタリ作用素であるとは、それが テンプレート:Math を満足するときに言う。ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar のエルミート共軛で テンプレート:Math は恒等作用素である。
上記よりも弱く、条件 テンプレート:Math のみを満たすものは等距作用素 テンプレート:En と呼ばれ、条件 テンプレート:Math を満たすものは余等距作用素 テンプレート:En と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である[1]。
内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。
ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Math がユニタリであるとは、
- テンプレート:Mvar は全射であり、かつ
- テンプレート:Mvar はヒルベルト空間 テンプレート:Mvar の内積を保つ。即ち、テンプレート:Mvar の任意のベクトル テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対して<math>を満足する
\langle Ux, Uy \rangle_H = \langle x, y \rangle_H
</math>ときにいう。
注意
実は上記定義における条件を、以下のように一見緩いものに取り換えても、同値な定義が得られる。
- ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界線型作用素 テンプレート:Math がユニタリであるとは、テンプレート:Mvar の値域が テンプレート:Mvar において稠密、かつ テンプレート:Mvar がヒルベルト空間 テンプレート:Mvar の内積を保つときにいう。
同値であることを見るには、テンプレート:Mvar が内積を保つことから テンプレート:Mvar が等距（したがって有界線型作用素）となることに注意すればよい。実は テンプレート:Mvar の値域が稠密であることよりそれが有界な逆作用素 テンプレート:Math を持つことが保証されるが、それは明らかに テンプレート:Math を満たす。
またユニタリ作用素の定義において、作用素の線型性は内積の線型性および正定値性から従うので、定義の意味を変えることなく作用素が線型であるという仮定は落とすことができる。実際、
- <math>\begin{align}
\| \lambda U(x) -U(\lambda x) \|^2 &= \langle \lambda U(x) -U(\lambda x), \lambda U(x)-U(\lambda x) \rangle \\ &= \| \lambda U(x) \|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \langle U(\lambda x), \lambda U(x) \rangle - \langle \lambda U(x), U(\lambda x) \rangle \\ &= |\lambda|^2 \| U(x)\|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \overline{\lambda} \langle U(\lambda x), U(x) \rangle - \lambda \langle U(x), U(\lambda x) \rangle \\ &= |\lambda|^2 \| x \|^2 + \| \lambda x \|^2 - \overline{\lambda} \langle \lambda x, x \rangle - \lambda \langle x, \lambda x \rangle \\ &= 0 \end{align}</math> という計算が成り立つから、斉次性が従う。
- <math>\| U(x+y)-(Ux+Uy)\| = 0</math>
も同様に示せるから、加法性も成り立つ。
例
- 恒等写像がユニタリ作用素であることは自明である。
- 非自明なユニタリ作用素の例として最も簡単なものは テンプレート:Math における回転である。実際、回転はベクトルの長さも二ベクトル間の角度も変えない。テンプレート:Math の回転についても同様。
- 複素数全体の成すベクトル空間 テンプレート:Math 上で、絶対値 1 の複素数（つまり、適当な テンプレート:Math に対して テンプレート:Math の形に書ける数）を掛ける操作はユニタリ作用素である。注意すべきは テンプレート:Mvar の値は テンプレート:Math の違いを除いてこの乗法の結果には影響しないこと、またそれゆえに テンプレート:Math の独立なユニタリ作用素の全体は単位円で径数付けることができるということである。ゆえにこの場合のユニタリ作用素全体の成す群（テンプレート:Mathと呼ばれる）は、集合としては単位円と見做すことができる。
- より一般に、ユニタリ行列はちょうど有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素となっているから、ユニタリ作用素の概念はユニタリ行列の概念の一般化である。また、直交行列は、成分が全て実数という特別の場合のユニタリ行列であるから、テンプレート:Math 上のユニタリ作用素である。
- 整数全体で添字付けられた数列空間 テンプレート:Math 上のテンプレート:仮リンクはユニタリである。一般に、ヒルベルト空間上で正規直交基底を並べ替えることによって作用する任意の作用素はユニタリになる。有限次元の場合、それらの作用素は置換行列である。一方、テンプレート:仮リンクは等距、その共軛は余等距である。
- テンプレート:仮リンク、すなわちフーリエ変換（に適当な正規化を施したもの）を作用させる操作は、ユニタリ作用素である。これはパーシヴァルの定理から従う。
性質
- ユニタリ作用素 テンプレート:Mvar のスペクトルは単位円上に載っている。つまり、スペクトルに入る任意の複素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。これは正規作用素に対するスペクトル定理からの帰結である。実際、定理によれば テンプレート:Mvar は適当な有限測度空間 テンプレート:Math に対する テンプレート:Math 上のボレル可測函数 テンプレート:Mvar による乗算作用素とユニタリ同値であり、いま テンプレート:Math から テンプレート:Math (テンプレート:Mvar-a.e) が従うから、テンプレート:Mvar の本質的値域、従って テンプレート:Mvar のスペクトルが単位円上にあることがわかる。
一般化
ユニタリ作用素を一般化するものとして、ユニタリ元 テンプレート:En がある。テンプレート:仮リンクテンプレート:仮リンクにおいて、その元 テンプレート:Mvar がユニタリ元であるとは、テンプレート:Math を満たすときに言う[2]テンプレート:Rp。ただし、テンプレート:Mvar は単位元である。
関連項目
注記
参考文献
- ↑ テンプレート:Harv
- ↑ テンプレート:Cite book
