バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

テンプレート:出典の明記バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（バーチ・スウィンナートン＝ダイアーよそう、略してBSD予想と呼ばれる、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）とは

楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する

という予想である。数学上の未解決問題のひとつ。

この予想は発表から約44年がたった現在（2009年）でも未解決なままだが、数論における重要な予想であり、解決に向けた研究が活発に行われている。またクレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてBSD予想の解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払う事を約束している。

背景

楕円曲線上の有理点（x座標もy座標も有理数になる点）は、加法'+'を定義することができる。 楕円曲線E上の二点 P = (x1, y1), Q = (x2, y2) に対し、直線 PQ と E との交点とx 軸に関して対称な位置にある点(x3, y3)をP + Q で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照）

このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、アーベル群をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。

アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / m₁Z, ..., Z / m_tZ の直積

<math>\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}</math>

に同型であることが知られている。このrのことを楕円曲線Eの階数とよぶ。

楕円曲線EのL関数L(E,s)を、s=1の周りでテイラー展開すると次のように書けたとする。

L(E,s)=(係数)×(s-1)のr乗+∑{(s-1)の(r+1)乗以上の項}

このとき、rはこの楕円曲線の階数になるというのがBSD予想である。

歴史

• 1960年代にBryan BirchとPeter Swinnerton-Dyerにより予想された。
• 2000年にクレイ数学研究所は本予想を含んだ数学の未解決問題7問に対しそれぞれに100万ドルの賞金をかけた（ミレニアム懸賞問題）。