スピン角運動量

スピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、テンプレート:Lang-en-short）は、素粒子（電子やクォークなど）、複合粒子（素粒子から構成されるハドロンや原子核や原子など）が持つ量子力学的な自由度の 1 つである。単にスピンと呼ばれることもある。粒子が回転運動をするとき、全角運動量は軌道角運動量とスピン角運動量が寄与する。軌道角運動量は、粒子の位置と運動量で表すことができる角運動量だが、スピン角運動量は、量子力学的な粒子が本来持っている角運動量で、位置と運動量で記述することができない。そのため、量子論に、粒子が持つ「内部自由度（固有角運動量、内部角運動量とも呼ぶ）」としてスピンを基本変数に付け加える。この「位置と運動量とスピンなどの足りないもの」を基本変数とする量子論が「量子力学」である。基本変数を「場とその時間微分または共役運動量」に選ぶ量子論、つまり「場の量子論」では電子は粒子ではなく「電子場」として記述され、電子場は電磁場の「偏光」（電磁場の向きが右回りに回転するか左回りに回転するか）に似た属性を持つ。これがスピンであり、場の自転のようなものなので、角運動量を伴う。その角運動量ベクトルで、スピンの向きと大きさを表す。このスピンの例でわかるように、古典的に場であったもの（電磁場など）だけでなく、電子のような古典的には粒子とみなされてきた物理系であっても、場を基本変数にしたほうが良く、適用範囲も広いことが判っている。

歴史

ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（ゼーマン効果）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが<math>\hbar/2</math>であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が 2 つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、電子がスピンに角運動量を自転によって得るためには、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転しなければならず、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にテンプレート:仮リンク によって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 <math>\hbar \hat{\bold{J}}</math> の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした。

その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。

スピン角運動量演算子

スピン角運動量は、3 つのエルミート演算子 s_x, s_y, s_z で表される物理量である。これらの演算子の間には、軌道角運動量と同様の交換関係が成り立つ。 テンプレート:Indent ここで、<math> \hbar = h / 2 \pi</math> であり、h はプランク定数である。ただし軌道角運動量と異なり、空間座標とその共役運動量との外積として表される必要はなく、したがってその大きさは <math> \hbar = h / 2 \pi</math> を単位として整数値のみでなく半整数値をもとりうる。

スピン角運動量の大きさの二乗を

s² = s_x² + s_y² + s_z²

と定義すると、これは各成分 s_x, s_y, s_z のいずれとも交換する。一方各成分同士は交換しないので、s² と各成分 s_x, s_y, s_z のうちいずれか一つとを同時に対角化できる。多くの場合同時対角化する成分を s_z とする。s² の固有値は <math>s (s + 1) \hbar^2</math>、s_z の固有値は <math>m_s \hbar</math> (m_s = - s, - (s - 1), ..., s - 1, s) となる。m_s をスピン磁気量子数という。s は、0 以上の整数または半整数の値をとる。素粒子の場合、s は素粒子の種類ごとに定まった値をもつ。

スピン 1/2

s = 1/2 の場合を考える。このとき、s² の固有値は <math>\frac{3}{4} \hbar^2</math> であり、s_z の固有値は <math>\frac{1}{2} \hbar, -\frac{1}{2} \hbar</math> の 2 つが存在することとなる。従って対応する固有状態も 2 つであり、それぞれ上向きスピン、下向きスピンと言うことが多い。

スピン角運動量の各成分 (s_x, s_y, s_z) はパウリ行列 (σ = (σ_x, σ_y, σ_z)) を使って以下のように表される。 テンプレート:Indent 以上は、s_z に関して対角となるようにしてある。

スピンと統計性

s が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、s が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

関連項目

• 角運動量
• 量子力学

外部リンク

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• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon パウリのスピン行列の導出
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon スピノル表記・パウリのスピン行列の導出
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon スピンと対称操作