マンハッタン距離

ファイル:Manhattan distance bgiu.png

マンハッタン距離の例: どの色のコースを辿っても同じ距離が決まっている

マンハッタン距離（マンハッタンきょり、Manhattan distance）またはL₁-距離は、幾何学における距離概念のひとつ。各座標の差（の絶対値）の総和を2点間の距離とする。

ユークリッド幾何学における通常の距離（ユークリッド距離）に代わり、この距離概念を用いた幾何学はタクシーの幾何 (taxicab geometry) と呼ばれる。19世紀にヘルマン・ミンコフスキーによって考案された。

定義

より形式的には、2点間の距離を直交する座標軸に沿って測定することで一般の n 次元空間においてマンハッタン距離 d₁ が定義される。

<math>d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|.</math>

ただし、x = (x₁, x₂, ...,x_n), y = (y₁, y₂, ...,y_n) とおいた。例えば、平面上において座標 (x₁, y₁) に置かれた点 P₁ と、座標 (x₂, y₂) に置かれた点 P₂ 間のマンハッタン距離は

<math>|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|</math>

となる。

例

マンハッタン距離は、都市ブロック距離（city block distance, 市街地距離）としても知られている。マンハッタン距離の名は、マンハッタンのような正方形のブロックに区分された都市で、自動車が運転される距離に由来する。ある角から東に 3 ブロック、北に 6 ブロックの位置にある角まで移動するには、いかなる経路を辿っても最低 9 ブロックを通過せねばならない。

チェスでは、ルークにとってのマス間の距離はマンハッタン距離によって測られる（キング・クイーンやビショップはチェビシェフ距離を用いる）。