超越数

超越数（ちょうえつすう, transcendental number）とは、代数的数でない数、すなわち有理係数の代数方程式 テンプレート:Indent の解とならないような複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数になる。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。

よく知られた超越数にネイピア数（自然対数の底）や円周率がある。ただし超越性が示されている実数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

超越数の例

最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別な人が既に証明しているものも多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。

(1) 超越数となる定数の例

• 自然対数の底 <math>e</math> 。　(エルミート (Ch. Hermite))
• 円周率 <math>\pi</math> 。　(リンデマン (F. Lindermann))
• <math>\pi + e^{\pi}</math>, <math>\pi e^{\pi}</math> 。　(ネステレンコ (Yu. V. Nesterenko))
• 正の整数を小さいほうから順番に並べた小数であるチャンパーノウン定数 0.123456789101112… 。　(マーラー (K. Mahler))
• 連分数展開が <math>\scriptstyle [0;\ a^{F_0},\ a^{F_1},\ a^{F_2},\ \ldots]</math> である無理数。但し、<math>a</math> は2以上の整数であり、<math>\scriptstyle\{F_n\}_{n\ge 0}</math> はフィボナッチ数列。　(クヌース (D. Knuth))
• チャイティンの定数 Ω 。
• <math>N</math>を正整数として、ある超越数の<math>N</math>乗は超越数である。

(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例

• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>e^{\alpha}</math> 。　(リンデマン)
• <math>\scriptstyle i\alpha</math> が有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>e^{\alpha\pi}</math> 。　(ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、シュナイダー (Th. Schneider))
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>e^{\alpha\pi + \beta}</math> 。　(ベイカー (A. Baker))
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\sin{\alpha}</math>, <math>\cos{\alpha}</math>, <math>\tan{\alpha}</math> 。　(リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass))
• 有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\sin{\alpha\pi}</math>, <math>\cos{\alpha\pi}</math>, <math>\tan{\alpha\pi}</math> 。　(ゲルフォント、シュナイダー)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>\sin{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\cos{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\tan{(\alpha\pi+\beta)}</math> 。　(ベイカー)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\sinh{\alpha}\quad</math>, <math>\cosh{\alpha}\quad</math>, <math>\tanh{\alpha}\quad</math> 。　(リンデマン、ワイエルシュトラス)
• <math>\scriptstyle i\alpha</math> が有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\sinh{\alpha\pi}</math>, <math>\cosh{\alpha\pi}</math>, <math>\tanh{\alpha\pi}</math> 。　(ゲルフォント、シュナイダー)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>\sinh{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\cosh{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\tanh{(\alpha\pi+\beta)}</math> 。　(ベイカー)
• <math>\scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1,\ \beta\notin\mathbb{Q}</math> を満たす代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta</math> に対する、<math>\alpha^{\beta}</math> 。　(ゲルフォント、シュナイダー)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1</math> に対する、<math>\log{\alpha}</math> 。　(リンデマン)
• 乗法的独立である、0, 1 ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta</math> に対する、<math>\log{\alpha}/\log{\beta}</math> 。　(ゲルフォント、シュナイダー)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\pi + \log{\alpha}</math> 。　(ベイカー)

(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例

• 正整数<math>n</math> に対する、ゼータ関数 <math>\zeta(2n)</math> 。　(リンデマン)
• <math>\scriptstyle \wp(z)</math> を、不変量 <math>\scriptstyle g_2,\ g_3</math> が代数的数であるワイエルシュトラスの <math>\scriptstyle \wp</math> 関数としたとき、定義域内の任意の代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する <math>\scriptstyle \wp(\alpha)</math> 。　(シュナイダー)
• <math>\scriptstyle j(\tau)</math> をクラインのモジュラ関数とし、<math>\alpha</math> を、上半平面内の3次以上の代数的数としたときの <math>\scriptstyle j(\alpha)</math> 。　(シュナイダー)
• <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、位数 0 の第1種ベッセル関数 <math>J_0(\alpha)</math> 。　(ジーゲル (C. L. Siegel))
• <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、合流型超幾何級数 <math>F(1,1,c; \alpha)</math> (<math>c</math> は0以下の整数以外の有理数) 。　(シドロフスキー (A. B. Shidlovsky))
• ガンマ関数 <math>\scriptstyle \Gamma(1/6),\ \Gamma(1/4),\ \Gamma(1/3),\ \Gamma(1/2), \ \Gamma(2/3),\ \Gamma(3/4),\ \Gamma(5/6)</math> 。　(チュドノフスキー(G. V. Chudnovsky))
• ベータ関数 <math>\scriptstyle B(1/2, 1/6),\ B(1/2, 1/4),\ B(1/2, 1/3)</math> 。　(ジーゲル、シュナイダー、チュドノフスキー)
• ヤコビのテータ級数の値 <math>\scriptstyle\vartheta_1(0,\alpha),\ \vartheta_2(0,\alpha),\ \vartheta_3(0,\alpha)</math> 。　(ネステレンコ)

(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例

• リウヴィル級数：<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{-k!}</math> 。　(マーラー)
• フレドホルム級数：2以上の整数 <math>d</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d^k}</math> 。　(マーラー)
• 自然数列 <math>\scriptstyle \{d_k\}_{k\ge 1}\ (d_k \ge 2)</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_1\cdots d_k}</math> 。　(西岡)
• <math>\scriptstyle \omega>0</math> 、整数 <math>\scriptstyle d\ge 2</math>、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{[\omega d^k]}</math> 。　(田中)
• ヘッケ＝マーラー級数：無理数 <math>\scriptstyle \omega>0</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty[k\omega]\alpha^{k}</math> 。　(マーラー)
• 整数 <math>\scriptstyle d\ge 2</math>、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\scriptstyle\prod_{k=0}^\infty(1-\alpha^{d^k})</math> 。　(マーラー)
• <math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\scriptstyle\prod_{k=0}^\infty(1-\alpha^k)</math> 。　(ネステレンコ)
• <math>\sigma_k(n)</math> (<math>\scriptstyle k=1,\ 3,\ 5</math>)を約数関数とする。<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty\sigma_k(n)\alpha^{n}</math> 。　(ネステレンコ)

(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例

• <math>\scriptstyle |a|\ge 2</math>を満たす整数 <math>a</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{a^{2^k}+1}</math> 。　(ドゥヴェルネ (D. Duverney))

以下において、<math>\scriptstyle\{F_n\}_{n\ge 0}</math> はフィボナッチ数列とする。

• <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k! F_{2^k}}</math> 。　(ミニョット (M. Mignotte)、マーラー)
• <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k}}</math> 。　(西岡、トッファー (T. Töpher))
• <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k+1}}</math> 。　(ベッカー (P. -G. Becker)、トッファー)
• 任意の正整数 <math>m</math> に対する、<math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m}_n},\ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{m}_{2n-1}}</math> 。　(ドゥヴェルネ、西岡(啓)、西岡(久)、塩川)

超越数かどうか分からない例

<math>e+\pi ,e-\pi ,e\pi,\frac{\pi}{e} ,{\pi}^{\pi} ,e^e ,\pi^e ,\pi^{\sqrt{2}} ,e^{\pi^2}</math>

などの円周率 テンプレート:Π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。一方で、

<math>\pi +e^{\pi} ,\pi e^{\pi} ,e^{\pi \sqrt{n}}</math>（n は正の整数）

は、超越的であると証明されている。

代数的独立性

複数の超越数が代数的独立である例を挙げる。

• <math>\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n</math> を有理数体上線形独立な代数的数としたとき、<math>e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\ldots,\ e^{\alpha_n}</math> は、代数的独立である。(リンデマン、ワイエルシュトラス)
• <math>\scriptstyle \pi,\ \Gamma(1/4)</math>、および、<math>\scriptstyle \pi,\ \Gamma(1/3)</math> は、それぞれ代数的独立である。(チュドノフスキー)
• <math>\scriptstyle \pi,\ e^\pi,\ \Gamma(1/4)</math> は、代数的独立である。(ネステレンコ)
• 代数的数 <math>\scriptstyle \alpha_1,\ldots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\ldots,\ n))</math> を、<math>\alpha_i/\alpha_j</math> が1のベキ根ではないようにとったとき、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha_1^{-k!},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty\alpha_n^{-k!}</math> は、代数的独立である。　(西岡)
• 相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対して、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_1^k},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty\alpha^{d_n^k}</math> は、代数的独立である。　(西岡)
• 2次の無理数 <math>\scriptstyle \omega>0</math> と、相異なる代数的数 <math>\scriptstyle \alpha_1,\ldots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\ldots,\ n))</math> に対して、<math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty[h\omega]\alpha_1^{-k},\ldots,\ \sum_{k=1}^\infty[k\omega]\alpha_n^{-k}</math> は、代数的独立である。　(マッサー (D. W. Masser))
• 相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対して、<math>\scriptstyle \prod_{k=0}^\infty\left(1-\alpha^{d_1^k}\right),\ldots,\ \prod_{k=0}^\infty\left(1-\alpha^{d_n^k}\right)</math> は、代数的独立である。　(西岡)
• 相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\ldots,\ d_n</math> に対して、<math>\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k + 1}^{d_1}},\ldots,\ \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{F_{2^k + 1}^{d_n}}</math> は、代数的独立である。　(西岡)
• <math>\scriptstyle m_1,\ m_2,\ m_3</math> を少なくとも１つは偶数である正整数としたとき、<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_1}_n},\ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_2}_n}, \ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F^{2m_3}_n}</math> は、代数的独立である。　(エルスナー (C. Elsner)、下村、塩川)

代数的独立性には、シャヌエルの予想 (Schannuel's conjecture)と呼ばれる有名な予想があり、現在でも解決されていない。(<math>n=1</math>のときでさえも、未解決である。)

シャヌエルの予想

<math>\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n</math> を有理数体上線形独立な複素数としたとき、 テンプレート:Indent\mathbb{Q}(\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n,\ e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\ldots,\ e^{\alpha_n})\ge n</math>。}}

注意： <math>\alpha_1,\ \alpha_2,\ldots,\ \alpha_n</math> が代数的数のときは、リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理である。

この予想が解決すると、様々な数が代数的独立になることが知られている。 そのなかの一例を挙げる：

以下の 17 個の数は、代数的独立である：

<math>e,\ e^{\pi},\ e^e,\ e^i,\ \pi,\ \pi^{\pi},\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^\pi,\ 2^e,\ 2^i,\ \log\pi,\ \log 2,\ \log 3,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3},\ 2^{\sqrt{2}}</math>。

注意：上記の数のうち、<math>e^e,\ \pi^\pi,\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^{\pi},\ 2^e,\ \log\pi,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3}</math> については、現状、超越数であるかは不明である。

マーラーの分類

複素数 <math>\alpha</math> に対して、 テンプレート:Indent として、<math>w(\alpha)</math> を定める。このとき、<math>\scriptstyle 0\le w(\alpha)\le\infty</math> が成立する。

また、<math>\scriptstyle \mu(\alpha) = \inf\{ n | w_n(\alpha) = \infty \}</math> とする。但し、<math>\scriptstyle w(\alpha) < \infty</math> の場合、<math>\scriptstyle \mu(\alpha) = \infty</math> とする。

この <math>\scriptstyle w(\alpha),\ \mu(\alpha)</math> を用いて、マーラーは、複素数を以下の様に分類した。これをマーラーの分類(Mahler's classification) と呼ぶ。

• <math>\alpha</math> は、A 数 (A-number)である。　<math>\Longleftrightarrow</math>　<math>w(\alpha) = 0,\ \mu(\alpha) = \infty</math> 。
• <math>\alpha</math> は、S 数 (S-number)である。　<math>\Longleftrightarrow</math>　<math>0 < w(\alpha) < \infty,\ \mu(\alpha) = \infty</math> 。
• <math>\alpha</math> は、T 数 (T-number)である。　<math>\Longleftrightarrow</math>　<math>w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) = \infty</math> 。
• <math>\alpha</math> は、U 数 (U-number)である。　<math>\Longleftrightarrow</math>　<math>w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) < \infty</math> 。

以下の様な性質がある。

• A 数からなる集合、S 数からなる集合、T 数からなる集合、U 数からなる集合は、いずれも空集合ではない。
• <math>\alpha,\ \beta</math> を代数的従属である複素数としたとき、<math>\alpha,\ \beta</math> は同じクラス(同じ分類の数)である。
• A 数からなる集合は、代数的数全体の集合に等しい。
• ほとんど全ての複素数は、S 数である。
  • さらに、ほとんど全ての実数は、タイプ 1 の S 数であり、ほとんど全ての複素数は、タイプ 1/2 の S 数である。
• 全てのリウヴィル数 は、U 数である。
• 任意の正整数 <math>n</math> に対して、<math>\mu(\alpha) = n </math> を満たす U 数が存在する。

また、いくつかの具体的な超越数に対して、どのクラスに属するかについては、例えば、以下のことが知られている。

• 自然対数の底 e は、タイプ 1 の S 数である。
• <math>\pi</math> は、U 数ではない。
• チャンパーノウン定数は、S 数である。
• <math>r</math> を 1以外の正の有理数としたとき、<math>\log r</math> は、U 数ではない。

超越測度

超越数 <math>\alpha</math> に対して、<math>T(\alpha, n, H)</math> を、<math>\scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1</math> で定義された実数を値にとる関数とする。

次数が <math>n</math> 以下で、各係数の絶対値が <math>H</math> 以下である、0 以外の整数係数多項式に対して、

が、任意の <math>\scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1</math> で成立するとき、<math>T(\alpha, n, H)</math> を <math>\alpha</math> の超越測度 (transcendence measure) という。

マーラーの分類のところで与えられた、<math>w_{n,H}(\alpha)</math> は、超越測度の１つであり、その定義から、最良の評価を与えるものである。

歴史

リウヴィルは、1844年に超越数の最初の例を与えた（リウヴィル数）。さらに1873年にシャルル・エルミートによって、自然対数の底 e が超越数であることが証明された。

カントールは1874年に、実数全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が可算無限集合であることを示すことにより、ほとんどの実数や複素数は超越数であることを示した。

その後、リンデマンは、1882年に円周率 <math>\pi</math> が超越数であることを証明した。これによって古代ギリシャ数学以来の難問であった円積問題が否定的に解かれた。また、彼は、任意の0でない代数的数 a に対する e^a が超越数であることも証明した（リンデマンの定理）。

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題を提出したが、そのうちの 7番目の問題「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」は1934-1935年にゲルフォントとシュナイダーによって肯定的に解決された（ゲルフォント＝シュナイダーの定理）。

1968年ベイカーは、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を含む、代数的数の1次形式の超越性および、1次形式の値が計算可能な下限で与えられることを証明した(ベイカーの定理を参照)。特に後者の結果は、ディオファントス方程式の整数解の上限を求めるための基本的な定理として重要なものである。この功績により、彼は、1970年、フィールズ賞を受賞した。

1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、<math>\pi</math>と、<math>e^{\pi}</math> （ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book