連続の方程式

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連続の方程式(れんぞくのほうていしき、テンプレート:Lang-en-short、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。保存則と密接に関わっている。

狭義には流体力学における質量保存則

<math>

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 </math>

(ρは密度v は流れの速度t は時間である。∇はナブラを参照。)

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

<math>

\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0 </math> を指す。

広義には、スカラー物理量 q についての保存則

<math>
   {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

</math>

(ρ:q の密度、jq流束

を指し、更に一般化して、q輸送方程式(一般の保存則)

<math>
   {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma 

</math>

(σ:q湧き出し密度)

を指すこともある。

広義の連続の方程式の導出

ファイル:Continuity.png
領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より
<math>\Delta M + \Delta t J = \Delta t S</math>
<math>(6-5) + 3 = 4 </math>
が成り立つ事がわかる。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という[出典 1]q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、

領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 <math>{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t}</math> と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量流量J とのは、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S等しい
<math>{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} + J = S</math>

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 jq の湧き出し密度 σ を導入すると、

<math>

\begin{align}

   M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\ 
   J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ 
   S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  

\end{align} </math> と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は

<math>
   {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V 
   + \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} 
   = \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  

</math> となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると

<math>
   \int_\Omega \left\{
        {\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma
    \right\}\mathrm{d}V
   = 0

</math> となるので、微分形

<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma </math>

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0 </math>

保存形、あるいは、q保存則の微分形と呼ぶ。

流体における連続の式

質量保存則

速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は

<math>

\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v} </math> となる[出典 2]

質量保存則から連続の式は

<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) = 0 </math>

となる。

輸送定理による導出

速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける[出典 1]

<math>

0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)} \rho\, dV = \int_{\Omega(t)} \left( {D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} \right) dV </math> ここで、<math>{D \over Dt}</math> は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

<math>{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0</math>

が成立する。

この式は、実質微分の定義

<math>

{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla </math> と公式

<math>

\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) =\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho </math> を使って、

<math>

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 </math> と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式

連続の方程式

<math>{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0</math>

に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である[出典 2]。つまり、<math>\frac{D \rho}{D t} = 0</math> となるので、ρ≠ 0 であることから、

<math>

\nabla\cdot\boldsymbol{v}

= 0

</math> を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の方程式

電荷保存則

電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である[出典 3]。ρ を電荷密度j電流密度とすれば、連続の式は

<math>
   {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

</math> となる。

変位電流

マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式

<math>

\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j} </math> に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式

<math>

\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j} </math> において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、

<math>

\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0 </math> となり、ガウスの式

<math>

\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho </math> を代入することで連続の式が得られる。

四元電流

電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を

<math>
   J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)

</math> と表す。ここで c光速である。微分演算子

<math>
   \partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)

</math> を定義すると、連続の式は

<math>
   \partial_\mu J^\mu = 0

</math> と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学

量子力学における連続の式は確率の保存則を表す[出典 4]

Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j

<math>

\begin{align} \rho &= \Psi^{*} \Psi\\ \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [

 \Psi^{*}  \nabla \Psi  - \Psi      \nabla \Psi^{*} 

\right ] \end{align} </math> と定義すると、シュレディンガー方程式

<math>

\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi </math> を用いて、確率に対する連続の式

<math>
   {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

</math> が得られる。

拡散方程式 

ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える[出典 5]。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は

<math>

\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho </math> と密度の勾配で与えられる。κ は <math>[\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}]</math> の次元をもつ量で拡散係数と呼ばれる。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式

<math>

{\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho </math> が得られる。

参考文献

  1. 1.0 1.1 テンプレート:Cite
  2. 2.0 2.1 テンプレート:Cite
  3. テンプレート:Cite
  4. テンプレート:Cite
  5. テンプレート:Cite