弾性率

テンプレート:出典の明記 弾性率（だんせいりつ、テンプレート:Lang-en）は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数あるいは弾性定数とも呼ばれる。

1807年にトマス・ヤングによって導入された。

概要

弾性率は弾性変形における応力とひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)として定義される。ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、単位はSI単位系ではPa、N/m²が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数や単に弾性コンプライアンスという。単位は1/Pa、m²/N。

2階のテンソル量である応力<math>\boldsymbol{\sigma}</math>とひずみ<math>\boldsymbol{\epsilon}</math>に対して、弾性率<math>\boldsymbol{D}</math>は4階のテンソル量で表すことができる。

<math>\boldsymbol{\sigma}= \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon}</math>

<math>\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)</math>

応力テンソルとひずみテンソルの対称性により、<math>\boldsymbol{\sigma}</math>と<math>\boldsymbol{\epsilon}</math>はそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル<math>\boldsymbol{D}</math>の独立な成分は36(= 6 x 6)個となる。材料が等方均質弾性材料とすると独立な成分は2個まで絞られる。

弾性率の種類としては以下のようなものがある。

• 引張力、圧縮力などの単軸応力に対する変形の場合のヤング率（縦弾性係数）：<math>E</math>
• せん断力に対する変形の場合の剛性率（ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数）：<math>G</math>
• 静水圧（直角3方向の力）に対する変形の場合の体積弾性率 ：<math>K</math>
• ラメの第一定数（ラメの弾性係数）：<math>\lambda</math>

この他に、無次元数のポアソン比も存在する。

弾性率の相関関係

等方均質弾性体では、ヤング率<math>E</math>、ポアソン比<math>\nu</math>、体積弾性率<math>K</math>、剛性率<math>G</math>、ラメの第一定数<math>\lambda</math>の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。その関係を下に示す。

ここで、<math>\alpha=\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}</math>とする。

等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
	<math>E</math>（ヤング率）	<math>\nu</math>（ポアソン比）	<math>K</math>（体積弾性率）	<math>G</math> （剛性率）	<math>\lambda</math>（ラメの第一定数）
<math>E, \nu</math>	<math>E</math>	<math>\nu</math>	<math>\dfrac{E}{3(1-2\nu)}</math>	<math>\dfrac{E}{2(1+\nu)}</math>	<math>\dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math>
<math>E, K</math>	<math>E</math>	<math>\dfrac{3K-E}{6K}</math>	<math>K</math>	<math>\dfrac{3K E}{9K-E}</math>	<math>\dfrac{3K(3K-E)}{9K-E}</math>
<math>E, G</math>	<math>E</math>	<math>\dfrac{E-2G}{2G}</math>	<math>\dfrac{G E}{3(3G-E)}</math>	<math>G</math>	<math>\dfrac{G(E-2G)}{3G-E}</math>
<math>E, \lambda</math>	<math>E</math>	<math>\dfrac{2\lambda}{E+\lambda+\alpha}</math>	<math>\dfrac{E+3\lambda+\alpha}{6}</math>	<math>\dfrac{E-3\lambda+\alpha}{4}</math>	<math>\lambda</math>
<math>\nu, K</math>	<math>3K(1-2\nu)</math>	<math>\nu</math>	<math>K</math>	<math>\dfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}</math>	<math>\dfrac{3K\nu}{1+\nu}</math>
<math>\nu, G</math>	<math>2G(1+\nu)</math>	<math>\nu</math>	<math>\dfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}</math>	<math>G</math>	<math>\dfrac{2G\nu}{1-2\nu}</math>
<math>\nu, \lambda</math>	<math>\dfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}</math>	<math>\nu</math>	<math>\dfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}</math>	<math>\dfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}</math>	<math>\lambda</math>
<math>K, G</math>	<math>\dfrac{9KG}{3K+G}</math>	<math>\dfrac{3K-2G}{6K+2G}</math>	<math>K</math>	<math>G</math>	<math>K-\frac{2}{3}G</math>
<math>K, \lambda</math>	<math>\dfrac{9(K-\lambda)}{3K-\lambda}</math>	<math>\dfrac{\lambda}{3K-\lambda}</math>	<math>K</math>	<math>\frac{3}{2}(K-\lambda)</math>	<math>\lambda</math>
<math>G, \lambda</math>	<math>\dfrac{G(3\lambda+2G)}{\lambda+G}</math>	<math>\dfrac{\lambda}{2\lambda+2G}</math>	<math>\dfrac{3\lambda+2G}{3}</math>	<math>G</math>	<math>\lambda</math>

複素弾性率

テンプレート:Main 粘弾性体に対しては、弾性率は複素数で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。

関連項目

• 弾性
• 剛性
• フックの法則

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