近傍系

数学の位相空間論周辺分野において、点の近傍系（きんぼうけい、テンプレート:Lang-en-short）あるいは近傍フィルター（きんぼうフィルター、テンプレート:Lang-en-short）とは、その点の近傍全体の成す集合族をいう。

定義

位相空間 X とその任意の元 x に対して、x の（全）近傍系 <math>\mathcal{V}(x)</math> とは、x の近傍全体の成すフィルターをいう。

点 x における基本近傍系 (fundamental system of neighbourhoods), 近傍基 (neighbourhood basis) あるいは局所基 (local basis) とは、近傍フィルターのフィルター基をいう。すなわち <math>\mathcal{V}(x)</math> の部分集合 <math>\mathcal{B}(x)</math> が基本近傍系であるというのは、各近傍 V に対して近傍基の元 B で V を含むものがとれること、記号で書けば

<math>\forall V \in \mathcal{V}(x) \quad \exists B \in \mathcal{B}(x) \mbox{ with } B \subset V</math>.

が成立することをいう。

逆に、任意のフィルター基に関すると同様、基本近傍系 <math>\mathcal{B}(x)</math> から近傍フィルター <math>\mathcal{V}(x)</math> を得ることができる。それには

<math>\mathcal{V}(x) =\left\{ V \supset B\mid B \in \mathcal{B}(x)\right\}</math>

とすればよい。

例

• ある点の全近傍系は明らかにそれ自身その点の近傍基である。
• 密着空間 X において、任意の点 x の近傍系は空間全体のみからなる： <math>\mathcal{V}(x) = \{ X \}</math>。
• 距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列
  <math>

 \mathcal{B}(x) = \{ B_{1/n}(x) ; n \in \mathbb N^* \}

</math>