ベルトランの仮説

ベルトランの仮説とは、フランスの数学者ベルトランが1845年に発表した、「自然数 n ≥ 2 に対して、n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在する」という命題である。ベルトランはこの命題を n ≤ 3 × 10⁶ の場合に検証し、一般の場合についての予想として提出した。この命題は実際には1850年にチェビシェフによって証明されており、現在ではベルトラン＝チェビシェフの定理、（数論における）チェビシェフの定理とも呼ばれている。

数学者の一松信は、高校数学で証明できる解析的整数論の成果の中で、おそらく「素数の逆数和は発散する」の次くらいに易しいと述べている。

証明

初等的な証明

最初に得られたチェビシェフによる証明はガンマ関数を使った高度なものであった。のちに、ポール・エルデシュが高校生のときに初等的な証明を与えた。

一松信は、エルデシュによる初等的な証明をさらに解きほぐしたものを『数研通信』70号（2011年5月）に著した。

2013年5月には、より強い評価式による証明が発表された。

証明

その証明の概略は次の通りである。背理法による。

1. ある自然数 n を取ると、n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在しないと仮定する。
2. _2nC_n を下と上から n の式で評価し、それを f(n) < _2nC_n < g(n) とおく。
3. <math>y=\frac{\log x}{x}</math> は x ≥ e で減少より、f(n) < g(n) は、幸いにもあまり大きくない数 n₀ 以上では成り立たないと確認される。
4. n < n₀ のとき、n < p ≤ 2n を満たす p は存在しないことを、確認する。
5. これらは矛盾。（証明終）

素数定理による証明

素数定理により、n が十分大きいときには n と 2n の間の素数の個数は <math>\frac{n}{\log n}</math> に近いことが言え、特にベルトランの仮説によって保証されている1つの素数の存在よりもより強く、より多くの素数が n と 2n の間に存在していることが分かる。しかしここで素数定理をベルトランの仮説の証明に用いるためには、 n と 2n の間の実際の素数の個数が <math>\frac{n}{\log n}</math> からどれだけずれているのかを評価しなければならない。この評価を得ることは可能だが、証明は入り組んだものになるし、チェビシェフによるベルトランの仮説の証明は素数定理の証明よりも前に得られていた。

ゴールドバッハの予想による証明

ゴールドバッハの予想を真と仮定すれば、ベルトランの仮説は簡単に示せる。

n > 1 に対し 2n と 2n + 2 は2つの素数の和として表せる。n が素数でないとき 2n の場合の2つのうち大きい方が、n が素数のとき 2n + 2 の場合の2つのうち大きい方が、n より大きく 2n より小さい。

一般化

ポール・エルデシュはこの命題の一般化として次の命題を証明した。

「任意の自然数 k に対して、ある自然数 N を取ると、任意の自然数 n > N に対して、n と 2n の間に 素数が少なくとも k 個存在する」　

参考文献

M. アイグナー, G.M. ツィーグラー, 『天書の証明』（蟹江訳）, シュプリンガー・フェアラーク東京, 2002.
H.J. Ricardo, "Goldbach's conjecture implies Bertrand's postulate," The American Mathematical Monthly 112 (2005) 492.
Goldbach implies Bertrand (Proof Wiki) http://www.proofwiki.org/wiki/Goldbach_implies_Bertrand

テンプレート:Math-stub