シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。

概要

2つの多項式を以下のようにする。 テンプレート:Indent このとき、(m + n) 個の変数をもつ連立方程式 テンプレート:Indent が自明でない解 x_k = α^m+n−1−k (0 ≤ k ≤ m + n − 1) を持つことと、f, g が共通根 α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される (m + n) 次の正方行列である。 テンプレート:Indent

また、この行列の行列式を R(f,g) と表し、終結式（しゅうけつしき、resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。 テンプレート:Indent と因数分解するとき、 テンプレート:Indent f(x) と g(x) が共通根をもつための必要十分条件は R(f,g) = 0 である。多項式 f(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n が重根をもつための必要十分条件は f とその導多項式 f′ が共通根を持つことであり、また、f の判別式 D(f) が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として テンプレート:Indent