グリーンの定理

グリーンの定理（グリーンのていり）は、ベクトル解析の定理である。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。2 つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。

グリーンの定理（2 次元）

2 重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを 3 次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合（2 次元空間内の 1 次微分形式と 2 次微分形式の関係式）とも考えられる。

公式

閉曲線 C で囲まれた領域 D を考える場合、C¹ 級関数 P(x, y), Q(x, y) について、以下が成り立つ。テンプレート:Indent すなわち、P(x, y), Q(x, y)のC上の線積分が、その外微分の領域D上の重積分に一致する。

定理の成立条件

領域と境界の条件

領域D としては、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線Cとする単連結領域のほかに、多重連結領域を考えることができる。多重連結領域の場合には、その境界が区分的に滑らかな閉曲線C₁、C₂、…、C_n で与えられるとし、C₂、…、C_n がC₁ の内部に含まれるとしたときに、C₂、…、C_n の向き付けは、正の方向に進んだときに、領域D の内部が左側に位置するようにとるものとする。すなわち、外部の境界C₁ の向き付けが反時計回りであるのに対し、内部の境界 C₂、…、C_n の向き付けは時計回りとする。

関数の連続微分可能性

定理の成立条件として、P、Q がそれぞれy、x について1回連続微分可能（C¹級）が仮定されることが多いが、実際は∂Q/∂x、∂P/∂yが存在し、その差のみが連続であれば十分であることが、1900年、数学者グルサ(Edmund Goursat)によって示され^[1]、その後、数学者ボホナー（Salomon Bochner）によっても、1930年代に同様な指摘がなされている^[2]。

一般化されたストークスの定理との対応

グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、R²の有界閉領域D 上で1次の微分形式ωを考えた場合に相当する。

<math>

\int_{\partial D} \omega = \int_D d\omega </math> 実際、1形式

<math>

\omega= Pdx+Qdy, \, </math> に対して、その外微分は

<math>

d \omega = \biggl ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \biggr ) dx \wedge dy </math> であり、グリーンの定理に対応している。

応用

コーシーの積分定理

複素数z=x +iy の正則関数

<math>

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \quad u,v \in \mathbb{R} </math> にグリーンの定理を適用すれば、「正則関数の閉曲線上の積分がゼロになる」というコーシーの積分定理を導くことができる。実際、

<math>

\oint_C f(z)\, dz =\oint_C (u\,dx-v\,dy)+i \oint_C (u\,dy+v \,dx) </math> に対して、グリーンの定理より、

<math>

\oint_C (u\,dx-v\,dy) = \iint_D\biggl ( -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \biggr ) \, dxdy , \quad \oint_C (u\,dy+v\,dx)= \iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \biggr ) \, dxdy </math> であるが、被積分関数はコーシー・リーマンの関係式より、0に等しく、

<math>

\oint_C f(z)\, dz =0 </math> を得る。