オイラーの五角数定理

数学において、オイラーの五角数定理（Euler's pentagonal number theorem）は次式が恒等式であることを主張する定理である。

<math>\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^n)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}(-1)^nx^{n(3n-1)/2}</math>

これはヤコビの三重積の公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法の数と奇数個に分割する方法の数との関係を示すものでもある。整数<math>n</math>の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合<math>\mathcal{Q}^0(n)</math>で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合<math>\mathcal{Q}^1(n)</math>と表すと

<math>|\mathcal{Q}^0(n)|-|\mathcal{Q}^1(n)|=\begin{cases}(-1)^k&\mbox{if }n=\frac{k(3k{\pm}1)}{2},k\in\mathbb{N}\\0&\mbox{otherwise}\end{cases}</math>

が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は

12=11+1

12=10+2

12=9+3

12=8+4

12=7+5

12=6+3+2+1

12=5+4+2+1

であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は

12=12

12=9+2+1

12=8+3+1

12=7+4+1

12=7+3+2

12=6+5+1

12=6+4+2

12=5+4+3

であるから、左辺は<math>7-8=-1</math>である。一方、<math>12=\frac{3(3\cdot3-1)}{2}</math>であるから、右辺も<math>(-1)^3=-1</math>である。

ヤコビの三重積による証明

ヤコビの三重積の公式

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}</math>

に<math>q=x^{3/2},z=-x^{-1/2}</math>を代入すると

<math>\begin{align}&\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(x^{3/2}\right)^{n^2}\left(-x^{-1/2}\right)^n

&=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{3m})(1-x^{(6m-3)/2}x^{-1/2})(1-x^{(6m-3)/2}x^{1/2})}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{3m})(1-x^{3m-2})(1-x^{3m-1})}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{m})}\\ \end{align}\\ &\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^nx^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{m})}\\ \end{align}</math> となる。

組み合わせによる証明

英語版を参照のこと。