対数積分

数学において、対数積分（たいすうせきぶん、Logarithmic integral function） li(x) とは、全ての正の実数 x≠ 1 において次の定積分によって定義される特殊関数である。

ここで、ln は自然対数である。ただし、関数 1/ln (t) は、t = 1 において特異点を持つが、x > 1 において、上記の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

x → ∞ におけるこの関数の発展挙動は、

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

ここで、π(x) は x 以下の素数の個数、Li(x) は補正対数積分関数であり、Li(x) はオイラーの対数積分とも呼ばれる。

<math> {\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) \, </math>

あるいは

<math> {\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \, </math>

である。このようにすると、積分表現が積分領域の特異点を回避するという優位点があり、x よりも小さな素数の数を非常に良く近似する。

関数 li(x) と指数積分 Ei(x) との間には、x ≠ 1 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。