重根 (多項式)
重根（じゅうこん、英称：multiple root）とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。
概要
1 変数多項式 f(x) が、定数 a≠0 ,α1,α2, … αn を用いて
- <math>f(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)</math>
の形に因数分解され、α1, α2, ..., αn の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を f(x) の重根という。
方程式 f(x) = 0 の解は一般に
- <math>
\left\{\begin{matrix} y&=&f(x) \\ y&=&0 \end{matrix}\right. </math> つまり xy-座標系において y = f(x) と x 軸との交点の x 座標である。 f(x)が1変数多項式のとき、 y = f(x) がx=αで x 軸に接するなら、αは f(x) の重根となる。したがってf(x)はx=αでの微分も0となり、x=αがf(x) の重根であることと
- <math>
\left\{\begin{matrix} f(\alpha)&=&0 \\ f'(\alpha)&=&0 \end{matrix}\right. </math> であることは同値である。
定義
体 K 上の多項式 f(x) と K の元 α に対し、(x - α)2 | f(x) が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 k と多項式 g(x) で
- <math>f(x)=(x-\alpha)^k g(x)</math>
を満たすものが存在するとき、α を f(x) の重根という。特に g(x) が α を根に持たないならば、k を根 α の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。
判別式
多項式 f(x) の根を α1, α2, ..., αn とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方
- <math>D_f := \prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i -\alpha_j)^2</math>
を多項式 f(x) あるいは方程式 f(x) = 0 の判別式（はんべつしき、discriminant）という。
これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。これは、
によって保証される。
たとえば、二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の根を α, β とすると根と係数の関係により
- <math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a},</math>
- <math>\alpha\beta = \frac{c}{a}</math>
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
- <math>(\alpha - \beta)^2 =
(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta =
\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\times\frac{c}{a} =
\frac{b^2 - 4ac}{a^2}
</math> となる。a2 > 0 であるので、実用上は分母を掃った b2 - 4ac を判別式として用いることが多い。
