最大と最小
数学の様々な分野で順序が定まった対象に対し、最大のものや最小のものが考察されている。最大のものを表す標準的な記号として max、最小のものを表すものとして min がもちいられる。この記事では最大・最小に関係した様々な話題を紹介する。
順序集合の最小元
順序構造の入った集合 O が与えられたときに、Oの部分集合 S に対してその最大元や最小元が存在するか、という問いをたてることができる。大小関係に基づいた順序を持つ実数の集合 Rと、その部分集合である開区間 (0, 1) の例に見られるように、一般的な順序集合については最大元も最小元も持たないような部分集合が存在しうる。
一方で自然数の集合 N （通常の大小関係に基づいて順序を入れる）は、そのどんな部分集合も最小の元を持っている。このように、全順序集合であってその任意の部分集合が最小元を持つようなものは整列順序集合とよばれる。選択公理を仮定することで、任意の集合の上に整列順序関係を導入できることが示される。
論理学における最大元・最小元
論理体系を表す対象として束を考えることができる。つまり、束の各元がその体系における命題に対応しており、順序関係 a ≤ bが含意の関係 a → b を表していると見なすことができる。このとき、束の最大元 1 は恒真命題を、最小元 0 は恒偽命題を表していることになる。
関数の最大値と最小値
実数には大小関係に基づいた順序が定められている。集合 X から実数の集合 R への写像 f にたいし、f の値域 Im f が最大の数や最小の数を持つかという問いがたてられる。
Rが位相構造を持っていることから、良いコントロールが得られるクラスの写像として f が位相空間 X からの連続写像である場合を考えることができる。R のコンパクトな部分集合が有界閉集合として特徴づけられるが、このような集合は必ず最大の数と最小の数を持っている。実際、これらの数は考えている有界閉集合の最小上界や最大下界をとることによって得られる。一方でコンパクトな空間の連続写像による像はふたたびコンパクトになることから、コンパクトな位相空間上定義された実数値連続関数は必ず最大値と最小値を持つことがわかる。
実数値連続写像を考えている場合でも定義域がコンパクトでない場合には関数の最大値や最小値の存在は保証されない。例えば、偶数次多項式は、Rが定義域の時、最高次の係数が正ならば最小値が求まるが最大値は求まらない。また最高次の係数が負ならば最大値は求まるが最小値は求まらない。
奇数次多項式は、R上で定義されている場合、最大値も最小値も求まらない。
局所環
幾何学的な代数系として局所環と呼ばれるクラスの環が挙げられる。これは「一点の周りの関数の挙動」を取り出した環であり、問題にしている点で消えているような関数たちからなる最大の固有イデアルをもつという条件によって特徴づけられる。
統計の最大値最小値
数値データにおいて、データを昇順にソートしたとき、最初の値を最小値、最後の値を最大値と呼ぶ。要約統計量の一種で、最小値は0分位点、最大値は1分位点である。
観測値の個数に大きく依存するので、取り扱いには注意が必要である。
