コンパクト空間

コンパクト（テンプレート:Lang-en-short）は数学における位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合と同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。

なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。

ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（テンプレート:Lang-en-short）と呼び、ハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。

定義

コンパクト性の概念は以下のようにあまり直観的ではない形で定義される。

まず集合Xに対しXの部分集合の族<math>\{A_{\lambda}\}_{\lambda}</math>が

• <math>

X= \bigcup_{\lambda}A_{\lambda} </math> を満たすとき、<math>\{A_{\lambda}\}_{\lambda}</math>はXを被覆しているといい、特に<math>A_{\lambda}</math>が全て開集合であれば、<math>\{A_{\lambda}\}_{\lambda}</math>をXの開被覆という。

位相空間Xがコンパクトであるとは次の性質を満たす事を言う：

• 　Xの任意の開被覆<math>\{O_{\lambda}\}_{\lambda}</math>に対し、<math>\{O_{\lambda}\}_{\lambda}</math>の有限な部分族<math>\{O_{\lambda_i}\}_{i=1,\ldots,n}</math>が存在し、<math>\{O_{\lambda_i}\}_{i=1,\ldots,n}</math>もXを被覆する。

距離空間における特徴づけ

Xが距離空間であれば、コンパクト性をより直観的な性質で特徴づける事ができる。

定理1
Xを距離空間とするとき以下の3つは同値である。 Xはコンパクトである。 Xは点列コンパクトである。 Xは全有界かつ完備である。

ここで位相空間Xが点列コンパクトであるとは、X上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわちX上の任意の点列<math>\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math>に対し適当な部分列<math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math>を取れば<math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math>はX上のいずれかの点に収束する事を指す。

また距離空間Xが全有界（ぜんゆうかい）であるとは任意のε＞0に対し、Xを半径εの有限個のボールで被覆する事ができる事を指す。すなわち任意のε＞0に対し適当な有限個の点<math>x_1,\ldots,x_n</math>を取れば

• <math>

X = \bigcup_{i=1,\ldots,n}\{y\mid \mathrm{d}(y,x_i )<\varepsilon\} </math> となる事を指す。（ここでd(・,・)はX上の距離を表す。）

また距離空間Xが完備であるとはX上のコーシー列は必ず収束する事を指す。詳細は完備距離空間の項目を参照されたい。

全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている：

定理2
距離空間Xが全有界である必要十分条件は以下を満たす事である： X上の任意の点列に対しある部分列が存在し、その部分列はコーシー列である。

Xが完備距離空間であればコーシー列は収束するので、定理1の「条件3⇒条件2」は定理2から従う。

有限次元ユークリッド空間における特徴づけ

定理1より特に以下が従う：

定理3
有限次元のユークリッド空間（あるいはより一般に完備リーマン多様体）の部分集合Aが 全有界かつ完備（定理1よりこれはコンパクト性と等価）である必要十分条件はＡが有界閉集合である事である。

より正確に言うと有限次元のユークリッド空間やリーマン多様体では有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。

有限次元ユークリッド空間における定理との関係

コンパクトの概念と点列コンパクトの概念は有限次元ユークリッド空間における定理であるハイネ・ボレルの被覆定理とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理からきており、実際これらの定理はそれぞれ有限次元ユークリッド空間の有界閉集合がコンパクト、点列コンパクトであると主張している。

したがってコンパクト性の概念や点列コンパクト性の概念は、こうした既知の定理の結論部分を位相空間や距離空間の言葉で抽象的に定式化する事で得られたものであるという事もできる。

なお定理3より有限次元ユークリッド空間においては有界閉集合である事と全有界かつ完備である事は同値なので、ハイネ・ボレルの被覆定理とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理はそれぞれ定理1における「3番目の条件⇒1番目の条件」、「3番目の条件⇒2番目の条件」の部分に対応している。

コンパクト性を使った証明の例

定理1により、距離空間ではコンパクト性の概念は「全有界かつ完備」というより直観的な概念で言い換える事ができるが、コンパクト性の定義それ自身も、定理を証明する上で非常に強力な道具となる。

コンパクト性を使った典型的な証明では、各点xの近傍<math>U_x</math>を集めた <math>\{U_x\}_{x\in X}</math>をXの開被覆として用い（これが実際にXを被覆しているのは明らか）、次のような道筋をたどる。

1. Xの各点xの近傍 <math>U_x</math>では求めるべき性質Ｐが成り立つ
2. <math>\{U_x\}_{x\in X}</math>はXを被覆するので、Xのコンパクト性から有限部分被覆を持つ
3. 2で作った有限部分被覆を使って性質Ｐ（ないし別の性質Ｑ）がXの全域で成り立つことを示す。

すなわち局所的に性質Pが成り立っている事を利用してPが大域的にも成り立つ事を示す際にコンパクト性は使える。 以上の証明においてコンパクト性は被覆している近傍の数を有限個に減らす事で無限に伴う複雑な問題を回避するのに役立つ。

以上の事を見る為にコンパクト性を使って証明する定理の例を1つあげる。

定理４
距離空間Xから距離空間Yへの連続写像fはXがコンパクトなら必ず一様連続である

なお定理2、4より特に「ユークリッド空間の有界閉集合から実数体への連続写像は一様連続である」というよく知られた事実が従う。また定理４はX、Yが距離空間でなくとも一様空間であれば成立し、その場合の証明は一様連続の項目に載っている。

以下の証明は基本的には上述の典型的な証明方法に従い、典型的な証明を説明した際のＰは基本的には「二点x，yの距離がδ未満ならf(x)とf(y)の距離はε未満である」という性質であり、 <math>U_x</math>はxのδ-近傍となるが、証明上の技術的な理由により、δの値を適切に取り替えるなどの処置を施している。

定理４の証明の概略は以下の通りである。 まず任意にε＞0を固定すると、fの連続性によりX上の各点uに対しあるδ_u＞0が存在し、以下が成立する：

さて明らかに

ので、コンパクト性からXの部分被覆<math>\{B(x_i,\delta_{x_i}/2)\}_{i=1,\ldots,n}</math>が存在する。X上の任意の点xはこれら被覆のいずれかに入る。すなわち

さて

とする。するとX上の任意の2点x、yの距離がδ以下であればf(x)、f(y)の距離はε以下となる。 実際(3)より、xはある<math>x_i</math>の（<math>\delta_{x_i}/2</math>）-近傍に入っており、しかも<math>d(x,y)<\delta\le \delta_{x_i}/2</math>であるので、三角不等式からyも<math>x_i</math>の<math>\delta_{x_i}</math>-近傍に入っている。したがって(1)を<math>u=x_i</math>に対して適応する事で、f(x)もf(y)も<math>f(x_i)</math>の(ε/2)-近傍に入っている事がわかるので、再び三角不等式からf(x)とf(y)の距離はε未満である。これはfの一様連続性を意味している□

以上の証明でコンパクト性が効いてくるのは、(4)においてδが0ではない事が示されるところにある。 実際(2)の段階では無限個あった近傍をコンパクト性により有限個の点<math>x_1,\ldots,x_n</math>の近傍に減らしているからこそ(4)でδは有限個の値のminとして定義されているが、コンパクト性を用いないと(4)でδは無限個の値のmin（というよりinf）とせねばならなくなるので、δは0になる可能性があるのである。（そして一様収束の定義はδ=0を認めていないので、証明が破たんする。）

このようにコンパクト性は、無限だと起こる問題を有限に落とす事で回避する事に用いる事ができる。一般的に無限が絡むと議論が複雑になるので、これを回避できるコンパクト性は有益な概念である。

無限次元空間におけるコンパクト性

有界閉集合との違い

有限次元ユークリッド空間ではコンパクト性は有界閉集合である事と同値であったが、無限次元空間ではこのような事実は成り立つとは限らず、例えばヒルベルト空間における無限次元超立方体や無限次元球体は有界閉集合であるがコンパクトではない（距離から位相をいれた場合）。

これは以下のように考えれば直観的に理解できる。まず簡単にわかるように一辺の長さが１である（縁を含んだ）n次元超立方体Ｉⁿを１辺の長さが（1/2）＋εの（縁を含まない）n次元超立方体Ｂで覆うにはどうしてもＢのコピーが2ⁿ個必要である。（ここでεは小さい値。たとえばε＝0.1）。したがってn→∞とすれば分かるように、１辺の長さが１の無限次元超立方体Ｉ^∞を覆うにはどうしても１辺の長さが（1/2）＋εの無限次元超立方体が無限個必要になり、有限個では覆う事ができない。コンパクト性は無限個開被覆は有限部分開被覆を持つ事を要請しているので、これはＩ^∞はコンパクトではない事を意味する。しかし有限次元の場合と同様の証明でＩ^∞が有界閉集合である事は示せる。以上の事からＩ^∞は有界閉集合であるがコンパクトではない。

同様のアイデアに基づいてＩ^∞が（有界ではあるが）全有界ではない事が示せる。したがって全有界性は有界性よりも真に強い概念である。

性質

閉集合

コンパクトな位相空間の部分集合に関し、以下が言える：

• コンパクト空間の部分集合が閉集合はコンパクトである。
• ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合。

したがってコンパクトかつハウスドルフな位相空間（コンパクトハウスドルフ空間）では部分集合Aが閉集合である事とAがコンパクトである事は同値である。

コンパクト性の遺伝

• コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。
• （有限個または無限個の）コンパクト空間の直積はコンパクトである。（チコノフの定理。この定理は ZF のもとで選択公理と同値である）

その他

• コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像である。
• コンパクト空間から実数体への連続関数は一様連続である。（ここから連続関数がリーマン可積分であることが言える）

コンパクト化

位相空間X のコンパクト化とはX をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事でX の性質を調べやすくする事ができる。コンパクトでない位相空間に一点付け加えるだけでコンパクト化する方法が必ず存在する(アレクサンドロフの一点コンパクト化)他、いくつかのコンパクト化の方法が知られている。実用上はX の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある（例えばX が多様体であるときにコンパクト化K として多様体になるものを選ぶ等）。

関連概念

• 位相空間Xの部分集合Yが相対コンパクト（テンプレート:Lang-en-short）であるとは、Yの閉包がコンパクトな事を指す。
• 位相空間Xが局所コンパクトであるとは、Xの任意の点がコンパクトな近傍を持つことを指す。すなわち、Xの任意の点Xに対しXのコンパクトな部分集合Ｋが存在し、XがＫの内点になることを指す。
• 位相空間Xが以下の性質をみたすとき、Xはパラコンパクト（テンプレート:Lang-en-short）であるという：Xの任意の開被覆は局所有限な部分被覆を持つ。ここでXの被覆<math>\{O_{\lambda}\}_{\lambda}</math>が局所有限であるとは、任意のx∈Xに対し、<math>x\in O_{\lambda}</math>を満たすλが有限個しかない事を指す。
• 位相空間Xが可算個のコンパクト集合の和集合として書けるとき、Xはシグマコンパクト（テンプレート:Lang-en-short）であるという。
• 位相空間Xから実数体への連続関数fが必ず有界となるとき、Xは擬コンパクト（テンプレート:Lang-en-short）であるという。
• 位相空間Xが以下の性質をみたすとき、Xはリンデレーフ空間（テンプレート:Lang-en-short）であるという：Xの任意の開被覆は可算部分被覆を持つ。

関連項目

• コンパクト化
• 関数解析学（コンパクト作用素など）

参考文献

• 『数学シリーズ集合と位相』内田伏一著、裳華房
• クゼ・コスニオフスキ著、加藤十吉訳編 『トポロジー入門』 東京大学出版会、1983年。